موضوع امتحان بكالوريا 2016 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

f(x) = x² − 4x + 3

1. احسب lim_x→−∞ f(x) و lim_x→+∞ f(x).
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f وشكل جدول تغيراتها.
3. بين أن المنحنى (C_f) يقبل محور تناظر.
4. أوجد معادلة المماس للمنحنى (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة x = 2.
5. احسب ∫₀³ f(x) dx.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر المتتالية العددية (u_n) المعرفة بـ:

u₀ = 1 و u_n+1 = (u_n + 2) / (u_n + 1)

1. بين بالترجع أن 1 ≤ u_n ≤ 2 لكل n ∈ ℕ.
2. ادرس رتابة المتتالية (u_n).
3. بين أن المتتالية (u_n) متقاربة نحو عدد حقيقي α يحقق α² = 2.
4. أوجد قيمة α.
5. احسب u₁ و u₂ و u₃ مقربا إلى 10⁻³.

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→)، نعتبر النقط:

A(1, −1, 0), B(0, 2, 1), C(1, 1, 2)

1. بين أن النقط A, B, C تحدد مستويًا.
2. أوجد معادلة المستوى (ABC).
3. احسب المسافة بين النقطة D(2, 0, −1) والمستوى (ABC).
4. أوجد إحداثيات المسقط العمودي للنقطة D على المستوى (ABC).
5. بين أن النقط A, B, C, D ليست على كرة واحدة.

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 10 كريات: 4 كريات حمراء، 3 كريات خضراء، و 3 كريات زرقاء. نسحب عشوائيا وفي آن واحد 3 كريات من الصندوق.

1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على 3 كريات من نفس اللون.
3. احسب احتمال الحصول على كرية حمراء واحدة على الأقل.
4. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عين قانون احتمال X.
5. احسب الأمل الرياضياتي E(X).

🔹 حل التمرين الأول

1. النهايات:
   • lim_x→−∞ f(x) = lim_x→−∞ (x² − 4x + 3) = +∞
   • lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ (x² − 4x + 3) = +∞
2. اتجاه التغير:
   f′(x) = 2x − 4 = 2(x − 2)
   f′(x) = 0 ⇔ x = 2
   f′(x) < 0 على ]−∞, 2[ و f′(x) > 0 على ]2, +∞[
   إذن f متناقصة على ]−∞, 2] ومتزايدة على [2, +∞[
   f(2) = 4 − 8 + 3 = −1
   جدول التغيرات:
   x : −∞ → 2 → +∞
   f′(x) : − → 0 → +
   f(x) : +∞ → −1 → +∞
3. محور التناظر:
   f(2 + h) = (2 + h)² − 4(2 + h) + 3 = 4 + 4h + h² − 8 − 4h + 3 = h² − 1
   f(2 − h) = (2 − h)² − 4(2 − h) + 3 = 4 − 4h + h² − 8 + 4h + 3 = h² − 1
   بما أن f(2 + h) = f(2 − h) فإن المستقيم x = 2 هو محور تناظر للمنحنى.
4. المماس:
   f(2) = −1, f′(2) = 0
   المعادلة: y = f′(2)(x − 2) + f(2) = 0·(x − 2) + (−1) = −1
5. التكامل:
   ∫₀³ (x² − 4x + 3) dx = [x³/3 − 2x² + 3x]₀³
   = (27/3 − 18 + 9) − (0) = 9 − 18 + 9 = 0

🔹 حل التمرين الثاني

1. الترجع:
   n = 0: u₀ = 1, إذن 1 ≤ u₀ ≤ 2 (صحيح)
   نفترض 1 ≤ u_n ≤ 2
   u_n+1 = (u_n + 2)/(u_n + 1)
   الدالة g(x) = (x + 2)/(x + 1) = 1 + 1/(x + 1) متزايدة على [1, 2] g(1) = 3/2 = 1.5, g(2) = 4/3 ≈ 1.33
   إذن 1 ≤ 4/3 ≤ u_n+1 ≤ 3/2 ≤ 2
   وبالترجع: 1 ≤ u_n ≤ 2 لكل n.
2. الرتابة:
   u_n+1 − u_n = (u_n + 2)/(u_n + 1) − u_n = (u_n + 2 − u_n² − u_n)/(u_n + 1) = (2 − u_n²)/(u_n + 1)
   بما أن u_n ≥ 1 > 0, إشارة الفرق هي إشارة (2 − u_n²)
   u₁ = 3/2 = 1.5, u₁² = 2.25 > 2, إذن u₂ − u₁ < 0
   u₂ = (1.5 + 2)/(1.5 + 1) = 3.5/2.5 = 1.4, u₂² = 1.96 < 2, إذن u₃ − u₂ > 0
   المتتالية ليست رتيبة (متذبذبة).
3. التقارب:
   نعتبر المتتاليتين (u₂_n) و (u₂_n+1). إحداهما متزايدة والأخرى متناقصة ومتقاربتان نحو نفس النهاية α حيث α = (α + 2)/(α + 1)
   α(α + 1) = α + 2 ⇒ α² + α = α + 2 ⇒ α² = 2
4. α = √2 (لأن α > 0)
5. u₁ = 1.5 ; u₂ = 1.4 ; u₃ = (1.4 + 2)/(1.4 + 1) = 3.4/2.4 ≈ 1.417

🔹 حل التمرين الثالث

1. AB→ = (−1, 3, 1), AC→ = (0, 2, 2)
   نلاحظ أن AB→ و AC→ غير مرتبطين خطياً، إذن A, B, C تحدد مستويًا.
2. المستوى (ABC):
   n→ = AB→ × AC→ = (3·2 − 1·2, 1·0 − (−1)·2, (−1)·2 − 3·0) = (6 − 2, 0 + 2, −2 − 0) = (4, 2, −2)
   نختار n→ = (2, 1, −1) كشعاع ناظم.
   المعادلة: 2(x − 1) + 1(y + 1) − 1(z − 0) = 0
   2x − 2 + y + 1 − z = 0 ⇒ 2x + y − z − 1 = 0
3. المسافة:
   d(D, (ABC)) = |2·2 + 1·0 − 1·(−1) − 1| / √(4 + 1 + 1)
   = |4 + 0 + 1 − 1| / √6 = 4/√6 = (2√6)/3
4. المسقط العمودي:
   H = D + λ·n→ حيث λ = −(2x_D + y_D − z_D − 1)/(4 + 1 + 1)
   = −(4 + 0 + 1 − 1)/6 = −4/6 = −2/3
   H(2 − 4/3, 0 − 2/3, −1 + 2/3) = (2/3, −2/3, −1/3)
5. تحقق من أن DA² = DB² = DC² (لن يتحقق) — النقط ليست على كرة واحدة.

🔹 حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات: C(10, 3) = 120
2. P(نفس اللون) = [C(4, 3) + C(3, 3) + C(3, 3)] / 120 = (4 + 1 + 1) / 120 = 6/120 = 1/20
3. P(حمراء واحدة على الأقل) = 1 − P(0 حمراء) = 1 − C(6, 3)/120 = 1 − 20/120 = 1 − 1/6 = 5/6
4. قانون احتمال X:
   X ∈ {0, 1, 2, 3}
   P(X = 0) = C(6, 3)/120 = 20/120 = 1/6
   P(X = 1) = C(4, 1)·C(6, 2)/120 = 4·15/120 = 60/120 = 1/2
   P(X = 2) = C(4, 2)·C(6, 1)/120 = 6·6/120 = 36/120 = 3/10
   P(X = 3) = C(4, 3)/120 = 4/120 = 1/30
5. E(X) = 0·(1/6) + 1·(1/2) + 2·(3/10) + 3·(1/30)
   = 0 + 0.5 + 0.6 + 0.1 = 1.2