الرياضيات — قابلية الاشتقاق على مجال: الشروط والقواعد — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

درس في الرياضيات مخصص لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي شعبة علوم تجريبية حول قابلية الاشتقاق على مجال. المحتوى يتبع المنهاج الرسمي الجزائري ويساعد في التحضير للبكالوريا من خلال أمثلة وتمارين محلولة.

المحتوى النظري

قابلية الاشتقاق في نقطة: نقول أن الدالة f قابلة للاشتقاق في النقطة x₀ إذا كانت النهاية lim (f(x) – f(x₀))/(x – x₀) عندما x → x₀ موجودة ومنتهية. هذه النهاية تسمى العدد المشتق وتكتب f₍₁₎(x₀).

قابلية الاشتقاق على مجال: نقول أن f قابلة للاشتقاق على مجال I إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل نقطة من I.

شرط قابلية الاشتقاق: إذا كانت f قابلة للاشتقاق في x₀ فإن f متصلة في x₀. العكس غير صحيح.

القواعد الأساسية

1. قابلية الاشتقاق في نقطة تعني وجود المماس للمنحنى في تلك النقطة.

2. إذا كان المشتق الأيمن ≠ المشتق الأيسر، فالدالة غير قابلة للاشتقاق.

3. الدوال الحدودية قابلة للاشتقاق على R.

4. الدالة √x قابلة للاشتقاق على ]0, +∞[ ولكنها غير قابلة للاشتقاق في 0 (المماس عمودي).

5. الدالة |x| غير قابلة للاشتقاق في 0 (زاوية حادة).

تمارين بكالوريا

تمرين 1 (بكالوريا 2022):

ادرس قابلية اشتقاق الدالة f(x) = |x² – 4| في النقطتين x = -2 و x = 2.

الحل: f(x) = |(x-2)(x+2)|. في x = 2: المشتق الأيسر = lim (f(x)-f(2))/(x-2) = lim |x+2|×(x-2)/(x-2) = lim |x+2|×sign(x-2) = -4. المشتق الأيمن = 4. بما أن المشتق الأيسر ≠ الأيمن، f غير قابلة للاشتقاق في 2.

تمرين 2:

لتكن f(x) = √(3x – 1). ادرس قابلية الاشتقاق على مجال تعريفها.

الحل: D_f = [1/3, +∞[. f₍₁₎(x) = 3/(2√(3x-1)) لكل x > 1/3. في x = 1/3: f₍₁₎(1/3) = +∞ (غير منتهية)، إذن f غير قابلة للاشتقاق في 1/3 (مماس عمودي). f قابلة للاشتقاق على ]1/3, +∞[.

📍 دروس مشابهة

• الاشتقاقية – تمارين تطبيقية – الثانية ثانوي
• الاشتقاقية وقواعدها وتطبيقاتها المتقدمة