الرياضيات — الدوال الكسرية: دراسة وتمثيل بياني — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

درس في الرياضيات مخصص لتلاميذ السنة الثانية ثانوي شعبة علوم تجريبية حول الدوال الكسرية. المحتوى يتبع المنهاج الرسمي الجزائري ويساعد في التحضير للبكالوريا من خلال أمثلة وتمارين محلولة.

المحتوى النظري

الدالة الكسرية هي دالة تكتب على شكل خارج دالتين حدوديتين: f(x) = P(x)/Q(x) حيث P و Q كثيرات حدود و Q(x) ≠ 0.

مجال التعريف: D_f = {x ∈ R : Q(x) ≠ 0}.

المستقيمات المقاربة: للدوال الكسرية مستقيمات مقاربة عمودية عند أصفار المقام ومستقيمات مقاربة أفقية أو مائلة عند ±∞.

القواعد الأساسية

1. مجال التعريف: نستثني أصفار المقام.

2. النهايات: عند أصفار المقام نجد نهايات غير منتهية (مستقيمات مقاربة عمودية).

3. عند ±∞: إذا كانت درجة البسط < درجة المقام → y = 0 مستقيم مقارب.

4. إذا كانت درجة البسط = درجة المقام → y = a/b حيث a, b معاملا الحدين من الدرجة الأعلى.

5. إذا كانت درجة البسط = درجة المقام + 1 → يوجد مستقيم مقارب مائل.

6. الاشتقاق: نستخدم قاعدة مشتق خارج دالتين: f₍₁₎ = (P₍₁₎Q – PQ₍₁₎)/Q².

تمارين بكالوريا

تمرين 1 (بكالوريا 2021):

لتكن f(x) = (2x² + 3x – 5)/(x – 1). حدد مجموعة التعريف والمستقيمات المقاربة.

الحل: D_f = R\\{1}. lim f(x) = +∞ عندما x→1⁺ و -∞ عندما x→1⁻، إذن x = 1 مستقيم مقارب عمودي. عند ±∞: درجة البسط > درجة المقام بـ 1، نقسم: f(x) = 2x + 5 + 0/(x-1). إذن y = 2x + 5 مستقيم مقارب مائل.

تمرين 2:

f(x) = (x + 1)/(x² – 1). أحسب النهايات وحدد المستقيمات المقاربة.

الحل: D_f = R\\{-1, 1}. lim f(x) عند -1 و 1 = ±∞ (مستقيمان مقاربان عموديان: x = -1 و x = 1). عند ±∞: درجة البسط 1 < درجة المقام 2، إذن y = 0 مستقيم مقارب أفقي.

📍 دروس مشابهة

• النهايات والاتصال – تمارين شاملة
• الرياضيات — الدوال: دراسة تغيرات دالة وتمثيلها البياني