الرياضيات — نظرية القيم المتوسطة والاتصال — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

درس في الرياضيات مخصص لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي شعبة علوم تجريبية حول نظرية القيم المتوسطة والاتصال. المحتوى يتبع المنهاج الرسمي الجزائري ويساعد في التحضير للبكالوريا من خلال أمثلة وتمارين محلولة.

المحتوى النظري

نظرية القيم المتوسطة: إذا كانت الدالة f متصلة على المجال [a, b] وكان f(a) × f(b) < 0 (أي أن f(a) و f(b) مختلفتا الإشارة)، فإنه يوجد على الأقل عدد c ∈ ]a, b[ بحيث f(c) = 0.

تعميم: إذا كانت f متصلة على [a, b]، فإن f تأخذ جميع القيم المحصورة بين f(a) و f(b).

حالة خاصة: إذا كانت f متصلة ورتيبة قطعا على [a, b]، فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلا وحيدا إذا كان f(a) × f(b) < 0.

القواعد الأساسية

1. شرط تطبيق نظرية القيم المتوسطة: f متصلة على [a, b] و f(a) × f(b) < 0.

2. إذا كانت f رتيبة قطعا على [a, b]، فإن الحل يكون وحيدا إذا وجد.

3. تؤكد النظرية وجود الحل ولكن لا تعطينا قيمته.

4. يمكن استخدام خوارزمية التنصيف (dichotomie) لتقريب قيمة الحل.

تمارين بكالوريا

تمرين 1 (بكالوريا 2023):

برهن أن المعادلة x³ – 3x + 1 = 0 تقبل ثلاثة حلول حقيقية.

الحل: f(x) = x³ – 3x + 1 متصلة على R. f(-2) = -1، f(-1) = 3، f(0) = 1، f(1) = -1، f(2) = 3. بما أن f(-2) × f(-1) < 0 يوجد حل في ]-2, -1[. f(-1) × f(0) > 0 و f(0) × f(1) < 0 يوجد حل في ]0, 1[. f(1) × f(2) < 0 يوجد حل في ]1, 2[. إذن للمعادلة ثلاثة حلول حقيقية.

تمرين 2:

بين أن المعادلة √x = 2 – x تقبل حلا وحيدا في [0, 4].

الحل: f(x) = √x + x – 2 متصلة على [0, +∞[. f(0) = -2 < 0، f(4) = 2 + 4 - 2 = 4 > 0. f(0) × f(4) < 0 إذن يوجد حل. f₍ₓ₎ = 1/(2√x) + 1 > 0 إذن f تزايدية قطعا، وبالتالي الحل وحيد.

📍 دروس مشابهة

• النهايات والاتصال – تمارين شاملة
• الرياضيات — الدوال: دراسة تغيرات دالة وتمثيلها البياني