الرياضيات — الإحصاء: مقاييس التشتت (المدى والتباين والانحراف المعياري) — الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

الإحصاء: مقاييس التشتت (المدى والتباين والانحراف المعياري)

مقاييس التشتت هي أدوات إحصائية تستخدم لقياس مدى انتشار البيانات وتباعدها عن بعضها البعض وععن مركز التوزيع. كلما كانت مقاييس التشتت صغيرة، كانت البيانات متجانسة ومتقاربة، وكلما كانت كبيرة، كانت البيانات متفرقة.

المدى (Range)

المدى هو أبسط مقاييس التشتت، ويحسب بالعلاقة: المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة.

مثال: سلسلة الأعداد {5, 8, 3, 12, 7} → المدى = 12 – 3 = 9.

التباين (Variance)

التباين هو متوسط مربع انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي. يحسب بالعلاقة:
σ² = Σ(xᵢ – x̄)² / N حيث N عدد القيم، x̄ متوسطها الحسابي، xᵢ القيم.

الانحراف المعياري (Standard Deviation)

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين: σ = √σ². وهو أكثر مقاييس التشتت استخداماً لأن وحدته نفس وحدة البيانات الأصلية.

مثال تطبيقي كامل

لدينا درجات 5 تلاميذ في الرياضيات: {12, 15, 10, 18, 20}.
1. المتوسط الحسابي x̄ = (12+15+10+18+20)/5 = 75/5 = 15.
2. التباين σ² = [(12-15)²+(15-15)²+(10-15)²+(18-15)²+(20-15)²]/5 = [9+0+25+9+25]/5 = 68/5 = 13.6.
3. الانحراف المعياري σ = √13.6 ≈ 3.69.
4. المدى = 20 – 10 = 10.

تمارين

1. احسب المدى والتباين والانحراف المعياري للبيانات: {7, 4, 9, 6, 8, 5}.
2. قارن بين مجموعتين من البيانات: A = {10, 12, 11, 13, 10} و B = {5, 20, 8, 15, 7}. أي المجموعتين أكثر تجانساً؟
3. إذا كان الانحراف المعياري لمجموعة درجات يساوي 0، ماذا يعني ذلك؟

روابط مفيدة

اطلع أيضاً على: المقاييس الإحصائية (المتوسط والوسيط والمنوال) و تنظيم البيانات في جداول.