البرهان بالاستدلال: الاستدلال بالتراجع والاستلزام — الثانية ثانوي

البرهان بالاستدلال: الاستدلال بالتراجع والاستلزام

البرهان الرياضي إثبات صحة عبارة باستخدام قواعد المنطق. أساس الرياضيات الحديثة.

1. أنواع البراهين

المباشر: استخدام البديهيات والتعريفات. غير المباشر: البرهان بالخلف (افتراض نقيض). البرهان بالتراجع (لمتتاليات/دوال).

2. البرهان بالخلف

نفترض نقيض المطلوب ونصل لتناقض. مثال: إثبات أن √2 غير نسبي. افتراض أنه نسبي → يكتب ككسر في أبسط صورة → يؤدي لتناقض.

3. البرهان بالتراجع

لإثبات P(n) لكل n∈ℕ: 1. الأساس: P(0) صحيحة. 2. الخطوة: إذا P(k) صحيحة فإن P(k+1) صحيحة. إذن P(n) صحيحة لكل n.

4. أمثلة

إثبات: 1+2+…+n = n(n+1)/2 بالتراجع. الأساس n=1: 1=1×2/2=1 ✓. الخطوة: نفرضها صحيحة لـ n، نثبت لـ n+1.

تمارين

1. برهن بالتراجع أن 2ⁿ > n لكل n≥1.