الرياضيات — الدوال الأسية: مفهوم وخصائص — الثالثة ثانوي — شعبة علوم — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدرس: الدوال الأسية – مفهوم وخصائص

1. تعريف الدالة الأسية

الدالة الأسية هي دالة على الشكل f(x) = a^x حيث a > 0 و a ≠ 1. مجال تعريفها هو مجموعة الأعداد الحقيقية R. ومن خصائصها: f(0) = 1 و f(1) = a. الدالة الأسية هي الدالة العكسية للدالة اللوغاريتمية. أساس الدالة e (العدد النيبيري ≈ 2.718) مهم جداً في التفاضل والتكامل.

2. خصائص الدالة الأسية

a^m × a^n = a^(m+n). (a^m)^n = a^(mn). a^m / a^n = a^(m-n). إذا كان a > 1 فالدالة متزايدة (تزايد أسي). إذا كان 0 < a < 1 فالدالة متناقصة. منحنى الدالة الأسية يمر دائماً بالنقطة (0,1) و (1,a). المحور x هو خط مقارب أفقي.

3. مشتقة الدالة الأسية

مشتقة الدالة e^x هي e^x (خاصية فريدة). مشتقة a^x = a^x × ln(a). مشتقة e^(g(x)) = e^(g(x)) × g(x). هذه الخاصية تجعل الدالة الأسية أساسية في حل المعادلات التفاضلية. مثال: f(x) = e^(3x) ⇒ f(x) = 3e^(3x).

4. معادلات ومتراجحات أسية

لحل معادلة أسية a^x = a^y ⇒ x = y (لأن الدالة الأسية تقابلية). لحل a^x = b ⇒ x = log_a(b) = ln(b)/ln(a). المتراجحات: إذا كان a > 1: a^x > a^y ⇔ x > y. إذا كان 0 < a < 1: a^x > a^y ⇔ x < y. مثال: 2^x = 8 ⇒ 2^x = 2^3 ⇒ x = 3.

5. تمارين

التمرين الأول: حل المعادلة: 3^(x+1) = 27.

التمرين الثاني: حل المتراجحة: (1/2)^x > 1/8.

للمزيد: درس القوى والجذور و درس الأعداد الطبيعية.