بنك الأسئلة التربوية (1) — بكالوريا الشعب العلمية — الرياضيات (80 سؤالاً)

بنك الأسئلة التربوية — الرياضيات — بكالوريا الشعب العلمية

الجزء الأول: الأسئلة من 1 إلى 40

1. ما هي مجموعة الأعداد الطبيعية؟
   الجواب: مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ = {0, 1, 2, 3, …} وهي أعداد صحيحة غير سالبة.
2. عرف مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية ℤ.
   الجواب: ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} تضم الأعداد الطبيعية ونظيراتها السالبة.
3. ما هو الفرق بين العدد الناطق (الكسري) والعدد العشري؟
   الجواب: العدد الناطق هو كل عدد يكتب على شكل a/b حيث a∈ℤ و b∈ℤ*، بينما العدد العشري هو عدد ناطق مقامه من مضاعفات 10.
4. كيف نحدد مجموعة تعريف دالة كسرية؟
   الجواب: مجموعة تعريف الدالة الكسرية f(x)=g(x)/h(x) هي ℛ محذوفاً منها الأعداد التي تعدم المقام (حيث h(x)=0).
5. ما هي شروط اتصال دالة في نقطة؟
   الجواب: الدالة f متصلة في النقطة a إذا: (1) f(a) معرفة، (2) نهاية f(x) عند a موجودة ومنتهية، (3) نهاية f(x) عند a تساوي f(a).
6. ما معنى قابلية اشتقاق دالة في نقطة؟
   الجواب: الدالة f قابلة للاشتقاق في a إذا كانت النهاية lim (f(x)-f(a))/(x-a) عندما x→a موجودة ومنتهية، ويسمى هذا الحد العدد المشتق f'(a).
7. أذكر صيغة مشتقة مجموع دالتين.
   الجواب: (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x). مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات.
8. ما هي مشتقة جداء دالتين؟
   الجواب: (f×g)'(x) = f'(x)×g(x) + f(x)×g'(x).
9. كيف نحسب مشتقة دالة مركبة؟
   الجواب: (g∘f)'(x) = g'(f(x)) × f'(x). أي مشتقة الدالة الخارجية في مشتقة الدالة الداخلية.
10. ما هو معامل التوجيه لمماس منحنى دالة في نقطة؟
    الجواب: معامل توجيه المماس للمنحنى (Cf) في النقطة ذات الفاصلة a هو العدد المشتق f'(a).
11. أكتب معادلة المماس لمنحنى دالة f في النقطة (a, f(a)).
    الجواب: معادلة المماس: y = f'(a)(x-a) + f(a).
12. متى نقول إن دالة متزايدة على مجال؟
    الجواب: الدالة f متزايدة على المجال I إذا كان ∀x₁, x₂∈I, x₁<x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂).
13. ما علاقة إشارة المشتقة باتجاه تغير الدالة؟
    الجواب: إذا كانت f'(x) ≥ 0 على مجال فإن f متزايدة عليه. إذا كانت f'(x) ≤ 0 على مجال فإن f متناقصة عليه.
14. كيف نحدد النقاط الحرجة لدالة؟
    الجواب: النقاط الحرجة هي النقاط التي تكون فيها المشتقة معدومة (f'(x)=0) أو غير موجودة.
15. ما هي شروط وجود نقطة انعطاف؟
    الجواب: نقطة الانعطاف هي نقطة يتغير عندها تقعر المنحنى. تتحقق عندما f”(x)=0 وتغير إشارتها.
16. عرف التكامل غير المحدد لدالة.
    الجواب: التكامل غير المحدد للدالة f هو مجموعة كل الدوال الأصلية لـ f، ويرمز له بـ ∫ f(x) dx.
17. أذكر العلاقة بين الدالة الأصلية والمشتقة.
    الجواب: إذا كانت F دالة أصلية لـ f على مجال I، فإن F'(x) = f(x) لكل x∈I.
18. ما هو التكامل المحدد؟ وكيف نحسبه؟
    الجواب: التكامل المحدد ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)-F(a) حيث F دالة أصلية لـ f. ويمثل مساحة الحيز المحصور بين المنحنى ومحور x.
19. كيف نحسب مساحة سطح محصور بين منحنيين؟
    الجواب: المساحة = ∫ₐᵇ |f(x)-g(x)| dx حيث f و g هما دالتا المنحنيين على المجال [a,b].
20. ما هي صيغة التكامل بالتجزئة؟
    الجواب: ∫ u dv = uv – ∫ v du، أو ∫ₐᵇ u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ – ∫ₐᵇ u'(x)v(x)dx.
21. كيف نحسب حجم جسم دوران؟
    الجواب: حجم الجسم الناتج عن دوران منحنى y=f(x) حول محور x بين a و b هو V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
22. عرف المتتالية العددية.
    الجواب: المتتالية العددية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ (أو جزء منها) وقيمها أعداد حقيقية.
23. ما هي المتتالية الحسابية؟
    الجواب: متتالية عددية ينتقل فيها من حد إلى الذي يليه بإضافة عدد ثابت r يسمى الأساس: uₙ₊₁ = uₙ + r.
24. أكتب الحد العام لمتتالية حسابية.
    الجواب: uₙ = u₀ + n×r، حيث u₀ هو الحد الأول و r هو الأساس.
25. ما هي المتتالية الهندسية؟
    الجواب: متتالية ينتقل فيها من حد إلى الذي يليه بضرب حد ثابت q يسمى النسبة: uₙ₊₁ = q×uₙ.
26. أكتب الحد العام لمتتالية هندسية.
    الجواب: uₙ = u₀ × qⁿ، حيث u₀ الحد الأول و q النسبة.
27. ما هي شروط تقارب متتالية؟
    الجواب: المتتالية تتقارب نحو عدد L إذا كان ∀ε>0, ∃N∈ℕ: ∀n≥N, |uₙ-L|<ε. أي أن حدودها تقترب من L كلما كبر n.
28. متى نقول إن متتالية متزايدة؟
    الجواب: المتتالية (uₙ) متزايدة إذا كان uₙ₊₁ ≥ uₙ لكل n∈ℕ.
29. ما هي نظرية التقارب الرتيب؟
    الجواب: كل متتالية متزايدة ومكبورة تتقارب. كل متتالية متناقصة ومصغورة تتقارب.
30. ما هو مبدأ الاستدلال بالتراجع؟
    الجواب: لإثبات خاصية P(n) لكل n∈ℕ: نثبت P(0) صحيحة (أساس)، ثم نفترض P(k) صحيحة ونثبت P(k+1) صحيحة (فرضية التراجع).
31. عرف الدالة الأسية الطبيعية.
    الجواب: الدالة الأسية الطبيعية (exp) هي الدالة العكسية للدالة اللوغاريتمية الطبيعية، وتكتب exp(x)=eˣ. وتحقق exp'(x)=exp(x).
32. ما هي خصائص الدالة الأسية؟
    الجواب: e⁰=1, e¹=e, eˣ⁺ʸ=eˣ×eʸ, e⁻ˣ=1/eˣ, (eˣ)ʸ=eˣʸ. وهي متزايدة تماماً على ℛ ومشتقتها تساوي نفسها.
33. عرف اللوغاريتم الطبيعي.
    الجواب: اللوغاريتم الطبيعي ln(x) هو معرف للأعداد x>0، وهو الدالة العكسية للدالة الأسية: ln(eˣ)=x و eˡⁿ⁽ˣ⁾=x.
34. أذكر خصائص اللوغاريتم الطبيعي.
    الجواب: ln(1)=0, ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)-ln(b), ln(aʳ)=r×ln(a). ومشتقته: (ln x)’ = 1/x.
35. ما هو اللوغاريتم العشري؟
    الجواب: اللوغاريتم العشري log(x) أو log₁₀(x) هو لوغاريتم أساسه 10: log(x)=ln(x)/ln(10). يستخدم في تطبيقات القياس والهندسة.
36. كيف نحسب نهاية دالة أسية عند اللانهاية؟
    الجواب: lim (x→+∞) eˣ = +∞، lim (x→-∞) eˣ = 0. وأيضاً lim (x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ و lim (x→-∞) xⁿ×eˣ = 0.
37. عرف الدوال الزائدية (hyperbolic).
    الجواب: جيب زائدي: sh(x)=(eˣ-e⁻ˣ)/2، جيب تجاوزي زائدي: ch(x)=(eˣ+e⁻ˣ)/2، وظل زائدي: th(x)=sh(x)/ch(x).
38. ما هي العلاقة الأساسية بين الدوال الزائدية؟
    الجواب: ch²(x) – sh²(x) = 1. وهي تشابه العلاقة المثلثية cos²x+sin²x=1 ولكن بعلامة مختلفة.
39. كيف نحدد النهايات باستخدام قاعدة لوبيتال؟
    الجواب: لحساب lim f(x)/g(x) عندما يكون 0/0 أو ∞/∞: نشتق البسط والمقام بشكل منفصل: lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) بشرط وجود هذه النهاية.
40. ما هو التفسير الهندسي للتكامل المحدد؟
    الجواب: ∫ₐᵇ f(x)dx يمثل المساحة الجبرية للحيز المحصور بين منحنى الدالة f ومحور الفواصل والمستقيمين x=a و x=b، مع اعتبار المساحات تحت المحور سالبة.

——— انتهى الجزء الأول ———

يتبع في الجزء الثاني الأسئلة من 41 إلى 80