الرياضيات — التفاضل: مفهوم المشتقة وتفسيرها الهندسي — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

التفاضل: مفهوم المشتقة وتفسيرها الهندسي

التفاضل (Derivative) فرع اساسي من التحليل الرياضي. المشتقة تقيس معدل تغير دالة عند نقطة. لها تطبيقات في الفيزياء والاقتصاد والهندسة.

تعريف المشتقة

مشتقة دالة f عند النقطة x0 هي النهاية: f(x0) = lim (h→0) (f(x0+h) – f(x0))/h اذا كانت هذه النهاية موجودة ومنتهية، نقول ان f قابلة للاشتقاق عند x0.

التفسير الهندسي

المشتقة f(x0) تساوي معامل توجيه المماس لمنحنى الدالة عند النقطة ذات الفاصلة x0. معادلة المماس: y = f(x0)(x – x0) + f(x0). اذا كانت المشتقة موجبة، الدالة تزايدية. اذا كانت سالبة، الدالة تناقصية. اذا كانت منعدمة، الدالة تبلغ نهاية محلية.

قواعد الاشتقاق

مشتقة الثابت: C = 0. مشتقة x: (x) = 1. مشتقة xn: (xn) = n x(n-1). مشتقة الجمع: (f+g) = f + g. مشتقة الجداء: (f.g) = f.g + f.g. مشتقة مركب: gof(x) = g(f(x)) x f(x).

تمارين

تمرين 1: احسب مشتقة f(x) = 3×2 + 2x – 5.

تمرين 2: اوجد معادلة المماس لمنحنى f(x) = x2 عند x = 2.

للمزيد: الدوال العددية و رتابة الدالة.