مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
📐 بطاقة الدرس
| المستوى: | السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم + آداب) |
| الوحدة: | المتتاليات العددية |
| الأهمية: | ⭐⭐⭐ (أساسي – تمهيد للمتتاليات في الثانية والثالثة ثانوي) |
| المدة المقترحة: | 3 حصص (4 ساعات 30 دقيقة) |
🎯 الأهداف التعليمية
- تعريف المتتالية العددية وفهم مفهومها
- التعرف على المتتالية الحسابية: تعريفها، إيجاد أساسها وحدها العام
- التعرف على المتتالية الهندسية: تعريفها، إيجاد أساسها وحدها العام
- حساب مجموع حدود متتالية حسابية وهندسية
- تحديد رتابة متتالية (متزايدة، متناقصة، ثابتة)
- تمثيل المتتاليات بيانياً
📝 تمهيد
في حياتنا اليومية، نلاحظ كثيراً من الظواهر التي تسير وفق نمط منتظم: عدد سكان مدينة يزداد بنسبة ثابتة كل سنة، مقدار قرض بنكي يزداد بفائدة مركبة، درجة حرارة تتناقص بمقدار ثابت كل ساعة… هذه الظواهر وغيرها يمكن نمذجتها باستخدام المتتاليات العددية.
المتتالية العددية هي أداة رياضية قوية تسمح بدراسة تطور كميات متغيرة بمرور الزمن أو بتغير الرتبة. في هذا الدرس، سنتعرف على مفهوم المتتالية العددية، أنواعها الأساسية (الحسابية والهندسية)، وطرق التعامل معها.
📚 المفاهيم الأساسية
1. تعريف المتتالية العددية
تعريف: المتتالية العددية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية \\( \\mathbb{N} \\) أو جزء منها، وتأخذ قيماً حقيقية.
نرمز للمتتالية بـ \\( (u_n) \\) ونسمي \\( u_n \\) الحد العام للمتتالية.
\\( u: \\mathbb{N} \\rightarrow \\mathbb{R} \\\\\ n \\mapsto u_n \\)
مثال: المتتالية \\( (u_n) \\) المعرفة بـ \\( u_n = 2n + 1 \\) تعطي القيم: \\( u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 7, … \\)
2. طرق تعريف متتالية
هناك طريقتان أساسيتان لتعريف متتالية:
الطريقة الأولى: بالحد العام (صيغة صريحة)
نعطي عبارة \\( u_n \\) بدلالة \\( n \\). مثال: \\( u_n = 3n – 2 \\)
الطريقة الثانية: بالعلاقة التراجعية
نعطي الحد الأول \\( u_0 \\) وعلاقة تربط \\( u_{n+1} \\) بـ \\( u_n \\). مثال: \\( u_0 = 1 \\) و \\( u_{n+1} = u_n + 3 \\)
3. تمثيل متتالية
لتمثيل متتالية بيانياً، نرسم النقط ذوات الإحداثيات \\( (n, u_n) \\) في مستوي الإحداثيات. المحور الأفقي يمثل الرتبة \\( n \\) والمحور العمودي يمثل قيمة الحد \\( u_n \\).
🧮 المتتالية الحسابية
أ. تعريف المتتالية الحسابية
تعريف: نقول إن متتالية \\( (u_n) \\) حسابية إذا وُجد عدد حقيقي \\( r \\) (يسمى الأساس) بحيث:
\\( u_{n+1} = u_n + r \\) \\(\\\\) لكل \\( n \\in \\mathbb{N} \\)
أي أن الفرق بين حدين متتاليين ثابت: \\( u_{n+1} – u_n = r \\)
- إذا كان \\( r > 0 \\): المتتالية متزايدة (تصاعدية)
- إذا كان \\( r < 0 \\): المتتالية متناقصة (تنازلية)
- إذا كان \\( r = 0 \\): المتتالية ثابتة
ب. الحد العام لمتتالية حسابية
نظرية: إذا كانت \\( (u_n) \\) متتالية حسابية أساسها \\( r \\) وحدها الأول \\( u_0 \\), فإن:
\\( u_n = u_0 + n \\cdot r \\)
وإذا كان الحد الأول هو \\( u_p \\) (حيث \\( p \\) رتبة البداية), فإن:
\\( u_n = u_p + (n-p) \\cdot r \\)
ج. مجموع حدود متتالية حسابية
نظرية: مجموع أول \\( n+1 \\) حداً من متتالية حسابية (من \\( u_0 \\) إلى \\( u_n \\)) هو:
\\( S_n = u_0 + u_1 + u_2 + … + u_n = \\frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} \\)
وبصيغة أخرى:
\\( S_n = (n+1) \\cdot \\frac{u_0 + u_n}{2} \\)
ملاحظة: مجموع حدود متتالية حسابية = (عدد الحدود) × (متوسط الحد الأول والحد الأخير).
حالة خاصة معروفة: مجموع \\( n \\) أعداد طبيعية الأولى:
\\( 1 + 2 + 3 + … + n = \\frac{n(n+1)}{2} \\)
🧮 المتتالية الهندسية
أ. تعريف المتتالية الهندسية
تعريف: نقول إن متتالية \\( (v_n) \\) هندسية إذا وُجد عدد حقيقي \\( q \\) (يسمى الأساس) بحيث:
\\( v_{n+1} = q \\cdot v_n \\) \\(\\\\) لكل \\( n \\in \\mathbb{N} \\)
أي أن النسبة بين حدين متتاليين ثابتة: \\( \\frac{v_{n+1}}{v_n} = q \\) (بشرط \\( v_n \\neq 0 \\))
- إذا كان \\( q > 1 \\) و \\( v_0 > 0 \\): المتتالية متزايدة
- إذا كان \\( 0 < q < 1 \\) و \\( v_0 > 0 \\): المتتالية متناقصة
- إذا كان \\( q = 1 \\): المتتالية ثابتة
ب. الحد العام لمتتالية هندسية
نظرية: إذا كانت \\( (v_n) \\) متتالية هندسية أساسها \\( q \\) وحدها الأول \\( v_0 \\), فإن:
\\( v_n = v_0 \\cdot q^n \\)
وإذا كان الحد الأول هو \\( v_p \\), فإن:
\\( v_n = v_p \\cdot q^{n-p} \\)
ج. مجموع حدود متتالية هندسية
نظرية: مجموع أول \\( n+1 \\) حداً من متتالية هندسية (من \\( v_0 \\) إلى \\( v_n \\)) هو:
\\( S_n = v_0 + v_1 + v_2 + … + v_n = v_0 \\cdot \\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q} \\) \\(\\\\) عندما \\( q \\neq 1 \\)
وإذا كان \\( q = 1 \\), فإن \\( S_n = (n+1) \\cdot v_0 \\)
📊 رتابة المتتالية
تعريف: نقول عن متتالية \\( (u_n) \\) إنها:
- متزايدة إذا كان \\( u_{n+1} \\geqslant u_n \\) لكل \\( n \\)
- متناقصة إذا كان \\( u_{n+1} \\leqslant u_n \\) لكل \\( n \\)
- ثابتة إذا كان \\( u_{n+1} = u_n \\) لكل \\( n \\)
لدراسة رتابة متتالية، نحسب فرق حدين متتاليين:
\\( u_{n+1} – u_n \\begin{cases} \\geqslant 0 \\implies (u_n) \\text{ متزايدة} \\\\ \\leqslant 0 \\implies (u_n) \\text{ متناقصة} \\\\ = 0 \\implies (u_n) \\text{ ثابتة} \\end{cases} \\)
💡 أمثلة محلولة
📌 المثال 1: متتالية حسابية
لتكن \\( (u_n) \\) متتالية عددية معرفة بـ: \\( u_0 = 5 \\) و \\( u_{n+1} = u_n + 3 \\)
1. بين أن \\( (u_n) \\) حسابية وحدد أساسها.
بما أن \\( u_{n+1} – u_n = 3 \\) (عدد ثابت), فإن \\( (u_n) \\) حسابية أساسها \\( r = 3 \\).
2. اكتب \\( u_n \\) بدلالة \\( n \\).
\\( u_n = u_0 + n \\cdot r = 5 + 3n \\)
3. احسب \\( u_10 \\).
\\( u_10 = 5 + 3 \\times 10 = 5 + 30 = 35 \\)
4. احسب المجموع \\( S = u_0 + u_1 + … + u_10 \\).
عدد الحدود = 11, \\( u_0 = 5 \\), \\( u_10 = 35 \\)
\\( S = 11 \\times \\frac{5 + 35}{2} = 11 \\times 20 = 220 \\)
📌 المثال 2: متتالية هندسية
لتكن \\( (v_n) \\) متتالية عددية معرفة بـ: \\( v_0 = 2 \\) و \\( v_{n+1} = 3v_n \\)
1. بين أن \\( (v_n) \\) هندسية وحدد أساسها.
بما أن \\( \\frac{v_{n+1}}{v_n} = 3 \\) (نسبة ثابتة), فإن \\( (v_n) \\) هندسية أساسها \\( q = 3 \\).
2. اكتب \\( v_n \\) بدلالة \\( n \\).
\\( v_n = v_0 \\cdot q^n = 2 \\times 3^n \\)
3. احسب \\( v_5 \\).
\\( v_5 = 2 \\times 3^5 = 2 \\times 243 = 486 \\)
4. احسب المجموع \\( S = v_0 + v_1 + … + v_5 \\).
عدد الحدود = 6, \\( v_0 = 2 \\), \\( q = 3 \\), \\( q \\neq 1 \\)
\\( S = 2 \\times \\frac{1 – 3^6}{1 – 3} = 2 \\times \\frac{1 – 729}{-2} = 2 \\times \\frac{-728}{-2} = 2 \\times 364 = 728 \\)
📌 المثال 3: دراسة رتابة متتالية
لتكن \\( (w_n) \\) معرفة بـ \\( w_n = n^2 + 1 \\)
ادرس رتابة المتتالية \\( (w_n) \\).
نحسب الفرق:
\\( w_{n+1} – w_n = [(n+1)^2 + 1] – [n^2 + 1] = (n^2 + 2n + 1 + 1) – (n^2 + 1) = 2n + 1 \\)
بما أن \\( 2n + 1 > 0 \\) لكل \\( n \\in \\mathbb{N} \\), فإن \\( w_{n+1} > w_n \\) أي المتتالية \\( (w_n) \\) متزايدة تماماً.
🏆 تمارين إضافية مع الحلول
📌 التمرين 1: متتالية حسابية \\( (a_n) \\) حيث \\( a_3 = 10 \\) و \\( a_7 = 22 \\). أوجد \\( a_0 \\) و \\( r \\) ثم اكتب \\( a_n \\) بدلالة \\( n \\).
🔍 انقر للحل
لدينا: \\( a_n = a_0 + n \\cdot r \\)
\\( a_3 = a_0 + 3r = 10 \\) … (1)
\\( a_7 = a_0 + 7r = 22 \\) … (2)
بطرح (1) من (2): \\( 4r = 12 \\implies r = 3 \\)
بالتعويض في (1): \\( a_0 + 9 = 10 \\implies a_0 = 1 \\)
إذن \\( a_n = 1 + 3n \\)
📌 التمرين 2: متتالية هندسية \\( (b_n) \\) حيث \\( b_2 = 18 \\) و \\( b_5 = 486 \\). أوجد \\( b_0 \\) و \\( q \\) ثم اكتب \\( b_n \\) بدلالة \\( n \\).
🔍 انقر للحل
لدينا: \\( b_n = b_0 \\cdot q^n \\)
\\( b_2 = b_0 \\cdot q^2 = 18 \\) … (1)
\\( b_5 = b_0 \\cdot q^5 = 486 \\) … (2)
بقسمة (2) على (1): \\( q^3 = \\frac{486}{18} = 27 \\implies q = 3 \\)
بالتعويض في (1): \\( b_0 \\times 9 = 18 \\implies b_0 = 2 \\)
إذن \\( b_n = 2 \\times 3^n \\)
📌 التمرين 3: احسب المجموع \\( S = 1 + 2 + 3 + … + 100 \\).
🔍 انقر للحل
هذه متتالية حسابية: \\( u_0 = 1 \\), \\( r = 1 \\), \\( n = 99 \\) (100 حد).
الحد الأخير \\( u_99 = 1 + 99 \\times 1 = 100 \\)
\\( S = 100 \\times \\frac{1 + 100}{2} = 100 \\times 50.5 = 5050 \\)
📋 جدول ملخص القوانين
| المتتالية | العلاقة التراجعية | الحد العام | المجموع (من 0 إلى n) |
|---|---|---|---|
| حسابية | \\( u_{n+1} = u_n + r \\) | \\( u_n = u_0 + n \\cdot r \\) | \\( S_n = (n+1) \\cdot \\frac{u_0 + u_n}{2} \\) |
| هندسية (\\( q \\neq 1 \\)) | \\( v_{n+1} = q \\cdot v_n \\) | \\( v_n = v_0 \\cdot q^n \\) | \\( S_n = v_0 \\cdot \\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q} \\) |
⚠️ تنبيهات وأخطاء شائعة
- الخلط بين الحسابية والهندسية: الحسابية = إضافة مقدار ثابت. الهندسية = ضرب في مقدار ثابت.
- خطأ في حساب عدد الحدود: من \\( u_0 \\) إلى \\( u_n \\) عدد الحدود هو \\( n+1 \\) وليس \\( n \\).
- شرط \\( q \\neq 1 \\) في مجموع الهندسية: إذا كان \\( q = 1 \\), استخدم الصيغة \\( S_n = (n+1) \\cdot v_0 \\) مباشرة.
- إشارة الأساس: أساس سالب في متتالية حسابية يعني متناقصة (وليس سالبة!).
- عدم التبسيط: في التمارين، لا تنس تبسيط النتائج إلى أبسط صورة.
💡 نصائح للتلميذ
- 📘 احفظ جدول القوانين جيداً — الفرق بين الحسابية والهندسية أساسي لفهم باقي دروس الرياضيات.
- 📝 في التمارين، ابدأ بتحديد نوع المتتالية أولاً (حسابية أم هندسية) قبل تطبيق القوانين.
- 📐 استخدم الرسم البياني لتصور تطور المتتالية — النقط المرسومة تساعدك على فهم الرتابة.
- 🔢 تدرب على حساب المجاميع يدوياً للتأكد من فهمك للصيغ.
- 🏆 المتتاليات أساس مهم لفهم التكامل والسلاسل في السنوات القادمة.
📍 دروس مشابهة
- 📘 الأعداد الحقيقية: درس شامل مع تمارين محلولة – الأولى ثانوي
- 📘 النهايات (مقدمة): شرح شامل مع تمارين محلولة – الأولى ثانوي
- 📘 الدوال المرجعية: الدوال الخطية والتآلفية والتربيعية – الأولى ثانوي