مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المتتاليات العددية (Suites Numériques) للثالثة ثانوي
المتتاليات العددية من المواضيع الأساسية في بكالوريا رياضيات. تأتي عادة في التمرين الأول أو الثاني. سنركز هنا على ما يحتاجه طالب البكالوريا: دراسة المتتاليات، رتابتها، نهايتها، وتمثيلها البياني.
1. تعريف المتتالية
المتتالية العددية (Suite numérique) هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ أو جزء منها، وتكتب (Un)n∈ℕ.
2. أنواع المتتاليات
| النوع | التعريف | الحد العام | المجموع |
|---|---|---|---|
| حسابية (Arithmétique) | Un+1 = Un + r | Un = U0 + nr | Sn = n(U0+Un-1)/2 |
| هندسية (Géométrique) | Un+1 = Un × q | Un = U0 × qⁿ | Sn = U0(1-qⁿ)/(1-q) |
3. رتابة المتتالية (Monotonie)
- متتالية تزايدية: Un+1 ≥ Un لكل n
- متتالية تناقصية: Un+1 ≤ Un لكل n
- طريقة الدراسة: حساب Un+1 – Un أو مقارنة Un+1/Un مع 1
4. نهاية المتتالية (Limite)
نهاية متتالية حسابية:
– إذا كان r > 0: lim Un = +∞
– إذا كان r < 0: lim Un = -∞
نهاية متتالية هندسية:
– إذا كان q > 1: lim Un = +∞ (إذا U₀ > 0)
– إذا كان 0 < q < 1: lim Un = 0
– إذا كان -1 < q < 0: lim Un = 0
📝 تمرين بكالوريا محلول
التمرين (مقتبس من بكالوريا 2021): نعتبر المتتالية (Un) المعرفة بـ: U0 = 4 و Un+1 = 0.5Un + 1 لكل n∈ℕ
(1) احسب U₁ و U₂
(2) بين بالتراجع أن Un > 2 لكل n∈ℕ
(3) ادرس رتابة المتتالية
(4) بين أن المتتالية متقاربة وأوجد نهايتها
الحل النموذجي:
1) U₁ = 0.5×4+1 = 3, U₂ = 0.5×3+1 = 2.5
2) بالتراجع: U₀ = 4 > 2. نفرض Un > 2 → 0.5Un > 1 → 0.5Un+1 > 2 → Un+1 > 2. ✔
3) Un+1 – Un = 0.5Un + 1 – Un = -0.5Un + 1 = -0.5(Un – 2) < 0 لأن Un > 2.
→ المتتالية تناقصية قطعاً.
4) المتتالية تناقصية ومحدودة من الأسفل بـ 2 → متقاربة.
نهاية ℓ تحقق ℓ = 0.5ℓ + 1 → 0.5ℓ = 1 → ℓ = 2.
📌 الخلاصة
المتتاليات أداة أساسية في الرياضيات وتأتي بكثرة في البكالوريا. أتقن أنواع المتتاليات وطرق دراسة الرتابة والنهايات.
📍 دروس مشابهة:
التكامل (Intégrales): حساب التكامل وطرقه مع تمارين بكالوريا محلولة
الأعداد العقدية (Nombres Complexes): الشكل الجبري والهندسي مع تمارين بكالوريا محلولة
