مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
📌 بطاقة الدرس:
المستوى: الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم – جذع مشترك آداب)
المادة: الرياضيات
الوحدة: الأعداد الحقيقية
مدة الدراسة المقترحة: 3-4 حصص
المستوى: الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم – جذع مشترك آداب)
المادة: الرياضيات
الوحدة: الأعداد الحقيقية
مدة الدراسة المقترحة: 3-4 حصص
1️⃣ مجموعات الأعداد (Les Ensembles de Nombres)
1.1 تصنيف الأعداد
📖 تنقسم مجموعة الأعداد إلى:
- \( \mathbb{N} \) (الأعداد الطبيعية): \( \{0, 1, 2, 3, 4, …\} \) — تستخدم للعد والترتيب.
- \( \mathbb{Z} \) (الأعداد الصحيحة النسبية): \( \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\} \) — تشمل الأعداد الطبيعية وأضدادها السالبة.
- \( \mathbb{D} \) (الأعداد العشرية): كل عدد له كتابة عشرية منتهية، مثل \( 3,145 \) و \( -2,5 \).
- \( \mathbb{Q} \) (الأعداد الناطقة/الكسرية): الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر \( rac{a}{b} \) حيث \( a, b \in \mathbb{Z} \) و \( b
eq 0 \). - \( \mathbb{R} \) (الأعداد الحقيقية): جميع الأعداد السابقة + الأعداد غير الناطقة (مثل \( \pi, \sqrt{2}, e \)).
1.2 العلاقات بين المجموعات
📐 علاقات الاحتواء (الشمول):
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
أي: كل عدد طبيعي هو عدد صحيح، وكل عدد صحيح هو عدد عشري (لأن \( -3 = -3,0 \))، وكل عدد عشري هو عدد ناطق، وكل عدد ناطق هو عدد حقيقي.
📝 مثال: صنف الأعداد التالية: \( -5, \; rac{3}{4}, \; \sqrt{2}, \; 0,5, \; \pi, \; 7 \)
الحل:
- \( 7 \in \mathbb{N} \) (طبيعي)
- \( -5 \in \mathbb{Z} \) (صحيح نسبي)
- \( 0,5 \in \mathbb{D} \) (عشري)
- \( rac{3}{4} \in \mathbb{Q} \) (ناطق)
- \( \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) (غير ناطق — جذر كامل غير تام)
- \( \pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) (غير ناطق)
1.3 المجالات (Intervalles)
📖 تعريف المجال: هو مجموعة جزئية من \( \mathbb{R} \) على شكل “سلسلة متصلة” من الأعداد.
| المجال | كتابته | المعنى |
|---|---|---|
| مغلق | \( [a, b] \) | \( a \leq x \leq b \) |
| مفتوح | \( ]a, b[ \) | \( a < x < b \) |
| نصف مفتوح | \( [a, b[ \) | \( a \leq x < b \) |
| نصف مفتوح | \( ]a, b] \) | \( a < x \leq b \) |
2️⃣ العمليات على الأعداد الحقيقية
2.1 القوى (Puissances)
📐 قواعد القوى: لكل \( a, b \in \mathbb{R}^* \) و \( m, n \in \mathbb{Z} \):
\[ a^m imes a^n = a^{m+n} \quad\quad rac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
\[ (a^m)^n = a^{m imes n} \quad\quad (a imes b)^n = a^n imes b^n \]
\[ \left( rac{a}{b}
ight)^n = rac{a^n}{b^n} \quad\quad a^{-n} = rac{1}{a^n} \] \[ a^0 = 1 \quad (a
eq 0) \quad\quad a^1 = a \]
ight)^n = rac{a^n}{b^n} \quad\quad a^{-n} = rac{1}{a^n} \] \[ a^0 = 1 \quad (a
eq 0) \quad\quad a^1 = a \]
📝 مثال 1: بسّط \( A = rac{2^3 imes (2^2)^4}{2^5} \)
الحل:
\[ A = rac{2^3 imes 2^{2 imes 4}}{2^5} = rac{2^3 imes 2^8}{2^5} = rac{2^{3+8}}{2^5} = rac{2^{11}}{2^5} = 2^{11-5} = 2^6 = 64 \]
2.2 الجذور (Racines)
📖 تعريف الجذر التربيعي: الجذر التربيعي لعدد موجب \( a \) هو العدد الموجب \( x \) الذي يحقق \( x^2 = a \). نكتب \( x = \sqrt{a} \).
ملاحظة: \( \sqrt{a} \geq 0 \) دائماً و \( \sqrt{a} \) يُعرف فقط من أجل \( a \geq 0 \).
📐 قواعد الجذور: لكل \( a, b \geq 0 \):
\[ \sqrt{a imes b} = \sqrt{a} imes \sqrt{b} \quad\quad \sqrt{ rac{a}{b}} = rac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b > 0) \]
\[ (\sqrt{a})^2 = a \quad\quad \sqrt{a^2} = |a| = egin{cases} a & a \geq 0 \ -a & a < 0 \end{cases} \]
\[ \sqrt{a} + \sqrt{b}
eq \sqrt{a + b} \quad ext{(⚠️ لا نجمع الجذور هكذا!)} \]
📝 مثال 2: بسّط \( B = \sqrt{50} + \sqrt{18} – \sqrt{8} \)
الحل: نحلل كل جذر:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 imes 2} = \sqrt{25} imes \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 imes 2} = 3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 imes 2} = 2\sqrt{2} \]
\[ B = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} – 2\sqrt{2} = (5 + 3 – 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]
2.3 ترتيب الأعداد الحقيقية
📐 خواص الترتيب: لكل \( a, b, c \in \mathbb{R} \):
\[ a \leq b \implies a + c \leq b + c \]
\[ a \leq b ext{ و } c > 0 \implies a imes c \leq b imes c \]
\[ a \leq b ext{ و } c < 0 \implies a imes c \geq b imes c \quad ext{(⚠️ تنعكس الإشارة)} \]
\[ a \leq b ext{ و } b \leq c \implies a \leq c \quad ext{(الخاصية التعدية)} \]
3️⃣ القيمة المطلقة (Valeur Absolue)
📖 تعريف القيمة المطلقة:
\[ |x| = egin{cases} x & ext{إذا كان } x \geq 0 \ -x & ext{إذا كان } x < 0 \end{cases} \]
القيمة المطلقة لعدد هي بعده عن الصفر على خط الأعداد. دائماً \( |x| \geq 0 \).
📐 خواص القيمة المطلقة:
\[ |a imes b| = |a| imes |b| \quad\quad \left| rac{a}{b}
ight| = rac{|a|}{|b|} \quad (b
eq 0) \] \[ |a + b| \leq |a| + |b| \quad ext{(المتراجحة المثلثية)} \] \[ |a| \leq r \iff -r \leq a \leq r \quad (r > 0) \] \[ |a| \geq r \iff a \leq -r ext{ أو } a \geq r \quad (r > 0) \]
ight| = rac{|a|}{|b|} \quad (b
eq 0) \] \[ |a + b| \leq |a| + |b| \quad ext{(المتراجحة المثلثية)} \] \[ |a| \leq r \iff -r \leq a \leq r \quad (r > 0) \] \[ |a| \geq r \iff a \leq -r ext{ أو } a \geq r \quad (r > 0) \]
📝 مثال 3: حل في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( |x – 3| = 5 \)
الحل:
\[ |x – 3| = 5 \iff egin{cases} x – 3 = 5 \ x – 3 = -5 \end{cases} \iff egin{cases} x = 8 \ x = -2 \end{cases} \]
✅ مجموعة الحلول: \( S = \{-2, 8\} \)
📝 مثال 4: حل في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( |x + 1| \leq 3 \)
الحل:
\[ |x + 1| \leq 3 \iff -3 \leq x + 1 \leq 3 \]
\[ \iff -3 – 1 \leq x \leq 3 – 1 \]
\[ \iff -4 \leq x \leq 2 \]
✅ مجموعة الحلول: \( S = [-4, 2] \)
4️⃣ الكتابة العلمية (Notation Scientifique)
📖 الكتابة العلمية لعدد: كتابة العدد على الشكل \( a imes 10^n \) حيث \( 1 \leq a < 10 \) و \( n \in \mathbb{Z} \).
الفائدة: تسهيل التعامل مع الأعداد الكبيرة جداً والصغيرة جداً.
📝 مثال 5: اكتب بالأرقام العلمية:
- \( 4500000 = 4,5 imes 10^6 \)
- \( 0,000023 = 2,3 imes 10^{-5} \)
- \( 0,0000000789 = 7,89 imes 10^{-8} \)
- \( 1\,500\,000\,000 = 1,5 imes 10^9 \) (مليار ونصف)
5️⃣ تمارين شاملة محلولة
التمرين 1:
بسّط العبارات التالية:
\( A = rac{3}{4} + rac{5}{6} \)
\[ A = rac{3}{4} + rac{5}{6} = rac{3 imes 3}{4 imes 3} + rac{5 imes 2}{6 imes 2} = rac{9}{12} + rac{10}{12} = rac{19}{12} \]
\( B = rac{2}{3} – rac{4}{5} imes rac{15}{8} \)
\[ B = rac{2}{3} – rac{4 imes 15}{5 imes 8} = rac{2}{3} – rac{60}{40} = rac{2}{3} – rac{3}{2} \]
\[ = rac{4}{6} – rac{9}{6} = - rac{5}{6} \]
التمرين 2:
بسّط العبارات التالية (مع \( x > 0 \)):
\( C = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} – 2\sqrt{2} \)
\[ C = (3 + 5 – 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]
\( D = \sqrt{75} – 2\sqrt{27} + \sqrt{12} \)
\[ D = \sqrt{25 imes 3} – 2\sqrt{9 imes 3} + \sqrt{4 imes 3} \]
\[ = 5\sqrt{3} – 2 imes 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \]
\[ = 5\sqrt{3} – 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \]
التمرين 3:
حل في \( \mathbb{R} \):
أ) \( |2x – 1| = 7 \)
\[ |2x – 1| = 7 \iff egin{cases} 2x – 1 = 7 \ 2x – 1 = -7 \end{cases} \iff egin{cases} x = 4 \ x = -3 \end{cases} \]
\[ S = \{-3, 4\} \]
ب) \( |x – 2| < 4 \)
\[ |x – 2| < 4 \iff -4 < x - 2 < 4 \iff -2 < x < 6 \]
\[ S = ]-2, 6[ \]
6️⃣ ملخص الدرس 📋
| المفهوم | الخلاصة |
|---|---|
| مجموعات الأعداد | \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \) |
| القوى | \( a^m imes a^n = a^{m+n} \) — \( rac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) — \( a^{-n} = rac{1}{a^n} \) |
| الجذور | \( \sqrt{a imes b} = \sqrt{a} imes \sqrt{b} \) — \( (\sqrt{a})^2 = a \) — \( \sqrt{a^2} = |a| \) |
| القيمة المطلقة | \( |a| \leq r \iff -r \leq a \leq r \) — \( |a| \geq r \iff a \leq -r \) أو \( a \geq r \) |
| الترتيب | الضرب في عدد سالب يعكس الإشارة ⚠️ |
📝 نصائح للتلميذ:
- ✅ احفظ تصنيف مجموعات الأعداد مع مثال لكل مجموعة.
- ✅ عند تبسيط الجذور، ابحث دائماً عن العوامل المربعة الكاملة (4، 9، 16، 25، 36، 49…).
- ✅ لا تخلط بين \( \sqrt{a + b} \) و \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) — فهما مختلفان تماماً!
- ✅ القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة.
- ✅ عند ضرب أو قسمة متراجحة في عدد سالب، اعكس إشارة المتراجحة.
- ✅ التدرب على العمليات الكسرية والجذور سيفيدك كثيراً في باقي دروس الرياضيات.
🏋️ تمارين إضافية للتدريب المنزلي:
- بسّط: \( rac{5}{8} + rac{3}{4} imes rac{2}{9} \)
- بسّط: \( \sqrt{98} + \sqrt{32} – \sqrt{50} \)
- حل: \( |3x + 2| \leq 5 \)
- اكتب بالكتابة العلمية: \( 0,0000457 \) و \( 67800000 \)
📌 إجابات: 1) \( rac{3}{2} \) | 2) \( 5\sqrt{2} \) | 3) \( [- rac{7}{3}, 1] \) | 4) \( 4,57 imes 10^{-5} \) و \( 6,78 imes 10^7 \)
⚠️ تذكير: الأعداد الحقيقية هي أساس كل الرياضيات في الثانوي. تأكد من إتقان هذا الدرس جيداً قبل الانتقال إلى الدوال والمتتاليات والمعادلات. راجع دروسك السابقة في المتوسط لربط المفاهيم!
📚 الدرس من إعداد أستاذ الرياضيات – منهاج الجزائر – جميع الحقوق محفوظة © 2026
لمزيد من الدروس والتمارين، تابعوا موقع dz-onec.com
📍 دروس مشابهة
- أنظمة التشغيل: مفهومها ووظائفها وأنواعها – الأولى ثانوي (شعبة تقني رياضي) – ا…
- La phrase complexe : subordination et coordination – 1ère Année Secondaire (F…