التحليل العددي: تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية – الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

مرحباً بكم في درس جديد من مادة الرياضيات للمرحلة المتوسطة حسب المنهاج الجزائري. في هذا الدرس، سنتناول موضوع التحليل العددي: تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية.

الأهداف التعليمية

• فهم مفهوم الأعداد الأولية.
• التعرف على طريقة تحليل عدد إلى عوامله الأولية.
• استخدام التحليل في إيجاد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.
• تطبيق التحليل في تبسيط الكسور.

الأعداد الأولية

العدد الأولي (Prime number) هو عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. أمثلة: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31… العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد. الأعداد غير الأولية تسمى أعداداً مركبة (Composite).

تحليل العدد إلى عوامله الأولية

تحليل العدد: كتابته كجداء أعداد أولية. نستخدم خوارزمية القسمة المتكررة: نقسم العدد على أصغر عدد أولي ممكن (2، 3، 5، 7، …) ونستمر حتى نحصل على 1.

مثال: تحليل 60. 60 ÷ 2 = 30. 30 ÷ 2 = 15. 15 ÷ 3 = 5. 5 ÷ 5 = 1. إذن 60 = 2² × 3 × 5.

مثال آخر: 84. 84 ÷ 2 = 42. 42 ÷ 2 = 21. 21 ÷ 3 = 7. 7 ÷ 7 = 1. إذن 84 = 2² × 3 × 7.

القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ)

لإيجاد ق.م.أ لعددين: نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس. مثال: 60 = 2² × 3 × 5، 84 = 2² × 3 × 7. العوامل المشتركة: 2² × 3 = 12. إذن ق.م.أ (60, 84) = 12.

المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ)

لإيجاد م.م.أ لعددين: نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم نأخذ جميع العوامل بأكبر أس. مثال: 60 = 2² × 3 × 5، 84 = 2² × 3 × 7. جميع العوامل بأكبر أس: 2² × 3 × 5 × 7 = 420. إذن م.م.أ (60, 84) = 420.

تطبيقات التحليل

• تبسيط الكسور: نقسم البسط والمقام على ق.م.أ.
• توحيد المقامات: نستخدم م.م.أ للمقامات.
• حل مسائل القسمة والتوزيع.
• حل مسائل الوقت والدورات.

تمارين تطبيقية

1. التمرين الأول: حلل الأعداد التالية: 48، 72، 100، 144.
2. التمرين الثاني: أوجد ق.م.أ للعددين 36 و 48.
3. التمرين الثالث: أوجد م.م.أ للعددين 12 و 18.
4. التمرين الرابع: بسط الكسر 48/72 باستخدام ق.م.أ.

ملخص الدرس

الأعداد الأولية: تقبل القسمة على 1 وعلى نفسها فقط. التحليل: كتابة العدد كجداء أعداد أولية. ق.م.أ: العوامل المشتركة بأصغر أس. م.م.أ: جميع العوامل بأكبر أس. التطبيقات: تبسيط الكسور، توحيد المقامات. راجع درس الكسور: العمليات الأساسية ودرس القوى: مفهومها وخواصها.