المرجح: مفهوم المرجح وخواصه في الهندسة – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

مرجح ثلاث نقط: مفهوم المرجح وخواصه – الرياضيات

المرجح (Barycenter) مفهوم في الهندسة يعمم فكرة مركز الثقل. يستخدم في الفيزياء والهندسة.

1. مفهوم المرجح

مرجح نقطتين A و B بمعاملين α و β هو النقطة G التي تحقق: α→GA + β→GB = →0 بشرط α + β ≠ 0.

2. إحداثيات المرجح

إذا كان A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂) فإن إحداثيات G: x_G = (αx₁ + βx₂)/(α+β), y_G = (αy₁ + βy₂)/(α+β).

3. مرجح ثلاث نقط

مرجح A و B و C بمعاملات α و β و γ هو G يحقق: α→GA + β→GB + γ→GC = →0.

4. خاصية التجميع

يمكن حساب مرجح نقط متعددة بتجميع نقط جزئية أولاً. مثال: مرجح A و B و C هو مرجح مرجح A و B مع C.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: أوجد مرجح A(1, 2) و B(5, 6) بمعاملين 3 و 1.

التمرين 2: ما شرط وجود مرجح نقطتين؟

التمرين 3: إذا كان G مرجح A و B بالمعاملين 2 و 3، فأين يقع G بالنسبة لـ A و B؟

6. الحلول

حل 1: x_G = (3×1+1×5)/(3+1) = (3+5)/4 = 2. y_G = (3×2+1×6)/4 = (6+6)/4 = 3. G(2, 3).

حل 2: α + β ≠ 0.

حل 3: →AG = (3/5)→AB. G يقع على القطعة AB أقرب إلى B لأن معامل B أكبر.

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.