العمليات على الأعداد الحقيقية: الترتيب والقيمة المطلقة — الأولى ثانوي

العمليات على الأعداد الحقيقية

مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ تشمل الأعداد الطبيعية ℕ والصحيحة ℤ والعشرية 𝔻 والناطقة ℚ إضافة إلى الأعداد غير الناطقة. سنتعرف في هذا الدرس على أهم العمليات والخصائص المتعلقة بالأعداد الحقيقية.

الترتيب في ℝ

نقول أن a < b إذا كان b - a > 0. من خصائص الترتيب: إذا كان a < b فإن a+c < b+c، وإذا كان a < b و c > 0 فإن ac < bc، وإذا كان a < b و c < 0 فإن ac > bc.

القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد حقيقي x هي: |x| = x إذا كان x ≥ 0، و|x| = -x إذا كان x < 0. ومن خصائصها: |a×b| = |a|×|b|، |a+b| ≤ |a|+|b| (متفاوتة المثلث).

المجالات

المجال المغلق [a;b] = {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}، المجال المفتوح ]a;b[ = {x ∈ ℝ / a < x < b}، مجال نصف مفتوح [a;b[ و ]a;b]. المجال اللانهائي ]−∞;a] = {x ∈ ℝ / x ≤ a}.

الحساب على الجذور

√(a×b) = √a × √b (a≥0, b≥0)، √(a/b) = √a / √b (a≥0, b>0). لتبسيط جذر نكتب العدد على شكل جداء عوامل أولية ونخرج العوامل المكررة.

تمارين تطبيقية

1. بين أن 2√5 + 3√5 = 5√5، وأن √12 = 2√3.
2. حل المتراجحة |x-3| < 2.
3. أكتب العدد a = (3+√2)(3-√2) بدون جذر.
4. أوجد مجال التعريف: f(x) = √(x-2) + 1/(x-3).

للمزيد: المتراجحات من الدرجة الثانية و المعادلات من الدرجة الثانية.