الرياضيات — المثلثات المتشابهة: تعريفها وخصائصها وتمارين — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

المثلثات المتشابهة

التشابه في الهندسة مفهوم مهم يساعدنا على فهم العلاقات بين الأشكال الهندسية. في هذا الدرس ندرس المثلثات المتشابهة وخصائصها.

أولاً: تعريف المثلثات المتشابهة

يقال عن مثلثين أنهما متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة (متساوية) وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. يرمز للتشابه بالرمز ~.

ثانياً: حالات تشابه المثلثات

• الحالة الأولى (زاويتان): إذا كانت زاويتان من مثلث تساويان زاويتين من مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان.
• الحالة الثانية (ضلعان وزاوية محصورة): إذا كانت زاوية من مثلث تساوي زاوية من مثلث آخر، وكان الضلعان المحيطان بهما متناسبين، فإن المثلثين متشابهان.
• الحالة الثالثة (الأضلاع الثلاثة): إذا كانت الأضلاع الثلاثة لمثلث متناسبة مع الأضلاع الثلاثة لمثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان.

ثالثاً: خصائص المثلثات المتشابهة

• النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي نسبة التشابه.
• النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع نسبة التشابه.
• إذا تطابق مثلثان متشابهان، فإن نسبة التشابه بينهما تساوي 1.

مثال توضيحي

مثلث ABC فيه AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm ومثلث DEF فيه DE = 3 cm, EF = 4 cm, DF = 5 cm.

نلاحظ أن: 6÷3 = 8÷4 = 10÷5 = 2، إذن الأضلاع متناسبة والنسبة هي 2، وبالتالي المثلثان متشابهان.

تمارين

التمرين 1: مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع الأول هي 3, 4, 5 ونسبة التشابه 2. جد أطوال أضلاع المثلث الثاني.

التمرين 2: إذا كان محيط مثلث 24 cm ونسبة تشابهه مع مثلث آخر هي 1:3، فما محيط المثلث الآخر؟

التمرين 3: مساحة مثلث 20 cm² ونسبة تشابهه مع مثلث آخر هي 2. جد مساحة المثلث الآخر.

للمزيد من الدروس، راجع درس نظرية فيثاغورس: تمارين وتطبيقات ودرس المتجهات: أساسيات الجمع والضرب.