الدوال الأسية: خصائصها وطرق دراستها — الثالثة ثانوي

الدوال الأسية: خصائصها وطرق دراستها

الدوال الأسية من أهم الدوال في الرياضيات وتظهر في العديد من التطبيقات العلمية كالنمو السكاني والتحلل الإشعاعي والفائدة المركبة. سنتناول في هذا الدرس تعريف الدالة الأسية وخصائصها وكيفية دراستها.

1. تعريف الدالة الأسية

الدالة الأسية للأساس الطبيعي e تكتب: f(x) = exp(x) = e^x حيث e عدد غير نسبي يساوي تقريباً 2.71828. تتميز هذه الدالة بأنها تساوي مشتقتها: (e^x)′ = e^x.

2. خصائص الدالة الأسية

• مجال التعريف: D = ℝ (جميع الأعداد الحقيقية)
• المدى: f(x) > 0 لكل x ∈ ℝ
• رتابة: الدالة تزايدية قطعاً على ℝ
• نهايات: lim(x→-∞) e^x = 0 و lim(x→+∞) e^x = +∞
• قوانين: e^(a+b) = e^a × e^b و e^(a-b) = e^a/e^b

3. مشتقة الدالة الأسية

مشتقة الدالة e^u حيث u(x) دالة قابلة للاشتقاق هي: (e^u)′ = u′ × e^u. هذه الخاصية تجعل الدوال الأسية سهلة الاشتقاق.

4. منحنى الدالة الأسية

منحنى الدالة f(x) = e^x يقع فوق محور الفواصل (لأن e^x > 0)، يقطع محور التراتيب في النقطة (0;1)، ويقبل محور الفواصل كمقارب أفقي عند -∞. المماس عند النقطة (0;1) معادلته: y = x + 1.

5. تطبيقات الدوال الأسية

تستخدم الدوال الأسية في: النمو السكاني (N(t) = N₀ × e^(kt))، التحلل الإشعاعي (N(t) = N₀ × e^(-λt))، التبريد (قانون نيوتن)، الفائدة المركبة في الاقتصاد، وشحن وتفريغ المكثفات في الفيزياء.

مثال تطبيقي

مثال: أحسب مشتقة الدالة f(x) = e^(2x+1).
الحل: نضع u(x) = 2x+1، إذن u′(x) = 2. وبالتالي f′(x) = 2 × e^(2x+1).

تمارين

1. أحسب: e³ × e⁻²
2. جد مشتقة الدالة: f(x) = e^(x²-3x)
3. أدرس إشارة الدالة: f(x) = (e^x – 1)(e^x – 2)
4. حل المعادلة: e^(2x) – 5e^x + 6 = 0

للمزيد من الشرح، راجع درس راسة الدوال العددية ودرس الدوال الأسيّة واللوغاريتمية.