النسب المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل في المثلث القائم — الثالثة متوسط

النسب المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل

النسب المثلثية تربط زوايا المثلث القائم بأطوال أضلاعه. أساس الهندسة والفيزياء والملاحة.

1. تعريف النسب المثلثية

sin θ = المقابل/الوتر. cos θ = المجاور/الوتر. tan θ = المقابل/المجاور = sin θ/cos θ. هذه النسب ثابتة لزاوية معينة بغض النظر عن حجم المثلث.

2. العلاقات الأساسية

sin²θ + cos²θ = 1. tan θ = sin θ/cos θ. الزاويتان المتتامتان: sin(90°-θ) = cos θ, cos(90°-θ) = sin θ.

3. النسب للزوايا الخاصة

30°: sin=1/2, cos=√3/2, tan=1/√3. 45°: sin=√2/2, cos=√2/2, tan=1. 60°: sin=√3/2, cos=1/2, tan=√3. حفظ هذه القيم مهم للحسابات السريعة.

4. تطبيقات

حساب الارتفاعات (قياس ارتفاع مبنى). الملاحة (زاوية الارتفاع والانخفاض). الهندسة المدنية (حساب أطوال الأضلاع والزوايا في الإنشاءات). الفيزياء (تحليل القوى).

مثال

مثلث قائم: الوتر = 10cm، إحدى الزوايا = 30°. جد الضلع المقابل. sin 30° = مقابل/10 → 1/2 = مقابل/10 → مقابل = 5cm.

تمارين

1. أحسب sin 45°, cos 45°, tan 45°.
2. إذا كان sin θ = 3/5، جد cos θ و tan θ.
3. سلم طوله 5m يميل على حائط بزاوية 60°. ما ارتفاع الحائط الذي يصل إليه السلم؟