الرياضيات — الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل — الأولى متوسط — المنهاج الجزائري

الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل

الأعداد الأولية هي لبنات بناء الرياضيات. سنتعرف في هذا الدرس على مفهوم العدد الأولي وكيفية تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية.

ما هو العدد الأولي؟

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 يقبل القسمة فقط على 1 وعلى نفسه. بمعنى آخر، ليس له قواسم غير 1 ونفسه.

أمثلة: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …

ملاحظة: العدد 1 ليس أولياً ولا غير أولي (عدد خاص). العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.

طريقة التحليل إلى عوامل أولية

لتحليل عدد إلى عوامله الأولية، نقسم العدد على أصغر عدد أولي يقسمه، ثم نكرر العملية مع الخارج حتى نحصل على 1.

مثال: تحليل العدد 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
إذن: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

طريقة الشجرة

يمكن استخدام طريقة الشجرة لتحليل الأعداد. نكتب العدد، ثم نرسم فرعين لعددين حاصل ضربهما يساوي العدد، ونستمر حتى نحصل على أعداد أولية فقط.

مثال: تحليل 84
84 = 2 × 42 = 2 × 6 × 7 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

لحساب PGCD لعددين، نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس.

مثال: PGCD(36, 60)
36 = 2² × 3²
60 = 2² × 3 × 5
PGCD = 2² × 3 = 12

المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

لحساب PPCM، نأخذ كل عامل بأكبر أس موجود.

مثال: PPCM(36, 60)
PPCM = 2² × 3² × 5 = 180

تمارين تطبيقية

التمرين 1: حدد الأعداد الأولية بين 1 و 50.
التمرين 2: حلل الأعداد التالية إلى عواملها الأولية: 72, 96, 120, 180.
التمرين 3: احسب PGCD و PPCM للعددين 48 و 72.
التمرين 4: بين أن مجموع عددين أوليين فرديين هو عدد زوجي.

للمزيد من الدروس: الأعداد الطبيعية: المفهوم والتمثيل و الكسور الاعتيادية: المفهوم والعمليات.