التفاضل والتكامل: المشتقات

التفاضل والتكامل (Calculus) هو أحد أهم فروع الرياضيات، وقد طوره كل من إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتس في القرن السابع عشر. المشتقة (Derivative) تقيس معدل تغير دالة بالنسبة لمتغيرها، وهي مفهوم أساسي في التحليل الرياضي.

تعريف المشتقة

مشتقة الدالة f عند النقطة x تُعرف بأنها نهاية نسبة التغير: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) – f(x)] / h. إذا كانت هذه النهاية موجودة، نقول أن الدالة قابلة للاشتقاق عند x.

قواعد الاشتقاق الأساسية

مشتقة الثابت: d/dx(c) = 0
قاعدة القوة: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الجمع: d/dx(f + g) = f’ + g’
قاعدة الجداء: d/dx(f·g) = f’·g + f·g’
قاعدة السلسلة: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) · g'(x)

التطبيقات الهندسية والفيزيائية

المشتقة تمثل ميل المماس لمنحنى الدالة عند نقطة معينة. في الفيزياء، السرعة هي مشتقة الإزاحة والتسارع هو مشتقة السرعة. تستخدم المشتقات أيضاً في إيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال (تحسين).

مثال تطبيقي

احسب مشتقة f(x) = 3x² + 2x – 5.
الحل: f'(x) = 3·2x + 2·1 – 0 = 6x + 2.
عند x = 1، f'(1) = 6(1) + 2 = 8، أي أن ميل المماس عند النقطة (1, 0) يساوي 8.

راجعوا درس دراسة الدوال لمزيد من التمارين حول تطبيقات المشتقات.

📍 دروس مشابهة:

التفاضل والتكامل: المشتقات