الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: الأنواع وطرق الحل — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: الأنواع وطرق الحل

المعادلات التفاضلية هي معادلات تربط بين دالة ومشتقاتها. في هذا الدرس سنتناول المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى التي تأتي في بكالوريا الجزائر.

تعريف المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى

المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى هي معادلة تحتوي على المشتقة الأولى للدالة y يرمز لها بـ y’ وتكتب بالشكل العام: y’ = f(x,y).

المعادلة من الشكل y’ = ay + b (حيث a وb عددان حقيقيان)

هذه المعادلة هي الأكثر ظهوراً في البكالوريا. حل هذه المعادلة هو:
y(x) = Ke^(ax) – b/a (إذا كان a ≠ 0)
حيث K ثابت حقيقي يحدد باستخدام الشرط البدئي.

مثال

حل المعادلة y’ = 2y + 3 مع الشرط y(0) = 1:
y = Ke^(2x) – 3/2
y(0) = K – 3/2 = 1 → K = 5/2
إذن: y = (5/2)e^(2x) – 3/2

المعادلة من الشكل y’ + ay = 0

هذه حالة خاصة من المعادلة السابقة (حيث b = 0). حلها: y = Ke^(-ax)

مثال

حل y’ + 3y = 0: y = Ke^(-3x)

المعادلة من الشكل y’ = f(x)

في هذه الحالة، نوجد الحل بالمكاملة المباشرة: y = ∫ f(x) dx + C

تمارين

1. حل المعادلات التفاضلية التالية:
   أ) y’ = 3y – 6
   ب) y’ + 5y = 0
   ج) y’ = 2x + 1
   د) y’ = -4y + 8
2. حل المعادلة y’ = 2y – 4 مع الشرط y(0) = 3
3. حل المعادلة y’ + y = 0 مع الشرط y(0) = 2
4. في تجربة فيزيائية، سرعة التفاعل الكيميائي تعطى بالمعادلة v’ = -0.5v. إذا كانت السرعة الابتدائية v(0) = 10، أوجد v(t).

للاستزادة، يمكنكم مراجعة درس الاشتقاقية ودرس دراسة الدوال.

📍 دروس مشابهة:

• اللغة العربية — درس الأفعال الخمسة رفعها ونصبها وجزمها — السنة الخامسة إبتدائي — المنهاج الجزائري
• موضوع امتحان بكالوريا 2020 في اللغة الفرنسية مع الحل – شعبة آداب وفلسفة
• Français — Le vocabulaire de l école et de la classe: objets et personnes — 2ème Année Primaire — Programme Algérien