الرياضيات — الأعداد المركبة: الشكل المثلثي وصيغة موافر — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: الشكل المثلثي وصيغة موافر

بعد أن تعرفنا على تمثيل الأعداد المركبة في المستوى العقدي، سنتعلم في هذا الدرس كيفية كتابة العدد المركب بالشكل المثلثي وتطبيق صيغة موافر.

الشكل المثلثي للعدد المركب

لكل عدد مركب z = a+ib غير معدوم، يمكن كتابته بالشكل المثلثي:
z = r(cos θ + i sin θ)
حيث r = |z| = √(a²+b²) هي طويلة العدد المركب، وθ = arg(z) هي عمدة العدد المركب (الزاوية المحصورة بين محور الفواصل والشعاع الممثل للعدد).

حساب العمدة

لحساب العمدة θ (حيث 0 ≤ θ < 2π):
cos θ = a/r و sin θ = b/r
θ = arctan(b/a) مع مراعاة ربع النقطة (a,b).

مثال

العدد z = 1 + i: r = √(1+1) = √2, cos θ = 1/√2, sin θ = 1/√2 → θ = π/4
إذن: z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))

صيغة موافر

صيغة موافر هي علاقة هامة في الأعداد المركبة تنص على:
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
حيث n عدد صحيح.

تطبيقات صيغة موافر

تستخدم صيغة موافر في:
– حساب قوى الأعداد المركبة بسهولة
– إيجاد صيغ مثلثية مضاعفة الزوايا
– إيجاد الجذور النونية للأعداد المركبة

مثال على صيغة موافر

لحساب (1+i)⁶: نكتب 1+i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
(1+i)⁶ = (√2)⁶(cos(6π/4) + i sin(6π/4)) = 8(cos(3π/2) + i sin(3π/2)) = 8(0 – i) = -8i

تمارين

1. اكتب الأعداد التالية بالشكل المثلثي: z = -1+i, z = -√3-i, z = 2-2i
2. باستخدام صيغة موافر، احسب: (1+i)⁸, (√3+i)⁵, (-1+i√3)³
3. استنتج صيغة cos(3θ) و sin(3θ) بدلالة cos θ و sin θ باستخدام صيغة موافر (ن = 3)
4. أوجد الجذور التربيعية للعدد z = i
5. أوجد الجذور المكعبية للعدد z = 1 (ثلاثة جذور)

للمزيد من المعلومات، راجع درس العمليات الحسابية على الأعداد المركبة ودرس تمثيل الأعداد المركبة في المستوى العقدي.

📍 دروس مشابهة:

• علوم الطبيعة والحياة — التنوع البيولوجي — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري
• مجموعة من الالغاز المسلية في الرياضيات
• التربية الإسلامية — سورة الماعون: تفسير ودروس — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري