الرياضيات — الأعداد المركبة: العمليات الحسابية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: العمليات الحسابية

الأعداد المركبة هي أعداد تكتب على الشكل a+ib حيث a وb عددان حقيقيان وi الوحدة التخيلية (i²=-1). في هذا الدرس سنتعرف على العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد المركبة.

جمع وطرح الأعداد المركبة

لجمع عددين مركبين (a+ib) و (c+id)، نجمع الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية بشكل منفصل:
(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
(a+ib) – (c+id) = (a-c) + i(b-d)

مثال

(3+2i) + (1-4i) = (3+1) + i(2-4) = 4-2i
(5+3i) – (2+8i) = (5-2) + i(3-8) = 3-5i

ضرب الأعداد المركبة

لضرب عددين مركبين نستخدم خاصية التوزيع مع مراعاة أن i² = -1:
(a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc + i²bd = (ac-bd) + i(ad+bc)

مثال

(2+3i)(1-4i) = 2×1 + 2×(-4i) + 3i×1 + 3i×(-4i) = 2 – 8i + 3i – 12i² = 2 – 5i + 12 = 14 – 5i

قسمة الأعداد المركبة

لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام:
(a+ib)/(c+id) = (a+ib)(c-id)/(c+id)(c-id) = (a+ib)(c-id)/(c²+d²)

مثال

(3+2i)/(1+i) = (3+2i)(1-i)/(1+i)(1-i) = (3-3i+2i-2i²)/(1+1) = (3-i+2)/2 = (5-i)/2 = 2.5 – 0.5i

تمارين

1. احسب: (4+3i) + (2-5i) و (7-2i) – (3+4i)
2. احسب: (2+3i)(4-5i) و (1+2i)(3-i)
3. احسب: (5+2i)/(1-2i) و (3-4i)/(2+i)
4. أثبت أن (1+i)² = 2i و (1-i)² = -2i
5. حل المعادلة: (2+i)z + 3-4i = 0 (حيث z عدد مركب)

للمزيد من الدروس، يمكنكم الاطلاع على درس تمثيل الأعداد المركبة في المستوى العقدي ودرس الجداء السلمي في المستوى.

📍 دروس مشابهة:

• التربية الإسلامية — الغسل: موجباته وكيفيته — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري
• علم الأحياء الخلوي: بنية الخلية ووظائفها
• الإعلام الآلي — مقارنة بين HTTP و HTTPS و FTP — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري