الرياضيات — الدوال الأسية: المعادلات والمتراجحات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال الأسية: المعادلات والمتراجحات

الدالة الأسية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ تكتب بالشكل f(x) = e^x أو f(x) = a^x (حيث a > 0 و a ≠ 1). في هذا الدرس سنتعلم حل المعادلات والمتراجحات التي تحتوي على دوال أسية.

تذكير بخصائص الدالة الأسية

الدالة الأسية الطبيعية f(x) = e^x لها الخصائص التالية:
– مجال التعريف: ℝ
– f(x) > 0 لكل x ∈ ℝ (الدالة موجبة تماماً)
– f(0) = 1, f(1) = e
– f””(x) = e^x (مشتقة الدالة الأسية تساوي الدالة نفسها)
– الدالة تزايدية قطعاً على ℝ
– lim(x→-∞) e^x = 0 و lim(x→+∞) e^x = +∞

حل المعادلات الأسية

لحل معادلات أسية نستخدم القواعد التالية:
1. إذا كان e^u = e^v فإن u = v
2. إذا كان a^u = a^v (حيث a > 0, a ≠ 1) فإن u = v
3. نستخدم اللوغاريتم الطبيعي: ln(e^u) = u

مثال 1

حل المعادلة e^(2x+1) = e^(x-3):
2x+1 = x-3 → 2x-x = -3-1 → x = -4

مثال 2

حل المعادلة e^(2x) – 3e^x + 2 = 0:
نضع X = e^x → X² – 3X + 2 = 0
X = 1 أو X = 2
e^x = 1 → x = 0
e^x = 2 → x = ln 2

حل المتراجحات الأسية

بما أن الدالة الأسية تزايدية قطعاً، فإن:
e^u > e^v ⇔ u > v
e^u ≥ e^v ⇔ u ≥ v
e^u < e^v ⇔ u < v

مثال

حل المتراجحة e^(2x-1) > e^(x+3):
2x-1 > x+3 → x > 4
مجموعة الحلول: S = ]4, +∞[

تمارين

1. حل المعادلات التالية في ℝ:
   أ) e^(3x-2) = e^(x+4)
   ب) e^(x²-1) = 1
   ج) e^(2x) + 2e^x – 3 = 0
   د) e^(4x) – 5e^(2x) + 4 = 0
2. حل المتراجحات التالية:
   أ) e^(x+1) > e^(2x-3)
   ب) e^(3x) ≤ e^(x+2)
   ج) e^(2x) – 3e^x + 2 > 0
3. مثل بيانياً الدالة f(x) = e^x – 2x وحدد إشارتها.

للمزيد من التمارين، راجع درس الدالة اللوغاريتمية ودرس الدوال المرجعية.

📍 دروس مشابهة:

• الإعلام الآلي — الإنترنت وخدماته: البريد الإلكتروني والتصفح والبحث — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري
• الربط على التوازي — خصائص وتطبيقات — العلوم الفيزيائية — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري
• Français — L’expression de la cause: parce que, car, puisque — 3ème Année Moyenne — Programme Algérien