الرياضيات — الاحتمالات: المتغير العشوائي والقانون الاحتمالي — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الاحتمالات: المتغير العشوائي والقانون الاحتمالي

الاحتمالات (Probabilites) تدرس الظواهر العشوائية. المتغير العشوائي يربط نتائج تجربة عشوائية بقيم عددية.

1- المتغير العشوائي X

المتغير العشوائي (Variable aleatoire) دالة ترفق كل نتيجة من نتائج تجربة عشوائية بقيمة عددية. مثال: رمي زهر نرد مرتين. X = مجموع الوجهين.

2- قانون الاحتمال

جدول يربط كل قيمة xi ياخذها X باحتمالها pi = P(X=xi). مجموع الاحتمالات = 1.

مثال: رمي قطعة نقود مرة. X عدد الصور. X=0 (P=1/2), X=1 (P=1/2).

3- الأمل الرياضي (Esperance)

E(X) = Σ xi × pi. يمثل القيمة المتوسطة لـ X عند تكرار التجربة مرات كثيرة.

4- التباين والانحراف المعياري

V(X) = Σ (xi – E(X))² × pi = E(X²) – (E(X))². σ(X) = √V(X).

5- قانون برنولي (Bernoulli)

تجربة بنتيجتين: نجاح (p) وفشل (q=1-p). X = 1 (نجاح) أو 0 (فشل). E(X)=p. V(X)=pq.

تمارين محلولة

التمرين 1: رمي زهر نرد. X الوجه الظاهر. E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5.

التمرين 2: صندوق فيه 3 كرات حمراء و 2 زرقاء. نسحب كرتين مع الإرجاع. X عدد الكرات الحمراء. أكتب قانون الاحتمال. X=0: P=(2/5)²=4/25. X=1: P=2×(3/5×2/5)=12/25. X=2: P=(3/5)²=9/25.

خلاصة

المتغير العشوائي أداة أساسية في الاحتمالات. يسمح بحساب الأمل والتباين وتحليل الظواهر العشوائية.