الرياضيات — الأعداد الطبيعية والأعداد الأولية: القسمة الإقليدية — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد الطبيعية والأعداد الأولية: القسمة الإقليدية

الأعداد الطبيعية (N) هي {0,1,2,3,…}. الأعداد الأولية أعداد طبيعية أكبر من 1 تقبل قاسمين فقط: 1 ونفسها.

1- القسمة الإقليدية

لكل عددين طبيعيين a و b (b≠0) يوجد عددان وحيدان q و h بحيث: a = b×q + r مع 0 ≤ r < b. q: خارج القسمة. r: الباقي.

مثال: 47 ÷ 6 → 47 = 6×7 + 5 (q=7, r=5).

2- مضاعفات عدد

مضاعفات n: {0, n, 2n, 3n, …}. أصغر مضاعف مشترك (PPCM) لعددين: أصغر عدد يقبل القسمة عليهما. مثال: PPCM(6,8) = 24.

3- القواسم

a قاسم لـ b إذا وجد k بحيث b = a×k. القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لعددين: أكبر عدد يقسمهما معاً. مثال: PGCD(12,18) = 6. خوارزمية إقليدس لحساب PGCD.

4- خوارزمية إقليدس

نقسم الأكبر على الأصغر، ثم نعوض الأكبر بالباقي حتى يصير الباقي 0. آخر قاسم غير معدوم هو PGCD. مثال: PGCD(48,18): 48=18×2+12, 18=12×1+6, 12=6×2+0 → PGCD = 6.

5- الأعداد الأولية

أول 10 أعداد أولية: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. كل عدد طبيعي > 1 يمكن تحليله إلى جداء أعداد أولية بطريقة وحيدة (النظرية الأساسية في الحساب). مثال: 60 = 2²×3×5.

تمارين محلولة

التمرين 1: اكتب القسمة الإقليدية لـ 85 على 7. 85 = 7×12 + 1 (q=12, r=1).

التمرين 2: احسب PGCD(72,54) بطريقة إقليدس. 72=54×1+18, 54=18×3+0 → PGCD = 18.

التمرين 3: حلل 180 إلى عوامل أولية. 180 = 2²×3²×5.

خلاصة

الأعداد الأولية والقسمة الإقليدية أساس نظرية الأعداد. تستخدم في التشفير وحساب PGCD و PPCM.

📍 دروس مشابهة

• القسمة الإقليدية والأعداد الأولية
• العمليات على الأعداد الطبيعية
• الهندسة في الفضاء: المكعب