الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها وتمثيلها البياني — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها وتمثيلها البياني

المحتوى العلمي

الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. إذا كان a>0 و a≠1 فإن log_a(x)=y ⇔ a^y=x حيث x>0. اللوغاريتم الطبيعي (ln) هو اللوغاريتم للأساس e حيث e≈2.718. الخصائص الأساسية: log_a(1)=0 وlog_a(a)=1 وlog_a(x.y)=log_a(x)+log_a(y) وlog_a(x/y)=log_a(x)-log_a(y) وlog_a(x^n)=n.log_a(x). قاعدة تغيير الأساس: log_a(x)=log_b(x)/log_b(a). الدالة f(x)=ln(x) معرفة على ]0,+∞[ ومتزايدة بشكل صارم. مشتقتها: f'(x)=1/x. منحنى الدالة اللوغاريتمية يقترب من محور الأراتيب ويمر بالنقطة (1,0). تستخدم الدوال اللوغاريتمية في قياس شدة الزلازل (مقياس ريختر) وشدة الصوت (الديسيبل) وفي حسابات الفائدة المركبة.

أمثلة تطبيقية

مثال: إذا كان ln(x)=2 فما قيمة x؟ الحل: x=e²≈7.389. مثال آخر: احسب log_2(8)+log_2(16)-log_2(4). باستخدام الخصائص: log_2(8×16÷4)=log_2(32)=5 لأن 2^5=32.

تمارين

التمرين الأول: احسب: log_2(8) + log_2(16) – log_2(4).
التمرين الثاني: حل المعادلة: ln(x) + ln(x+1) = ln(6).
التمرين الثالث: ادرس اتجاه تغير الدالة f(x)=ln(x²+1) واحسب مشتقتها.