الرياضيات — التكامل: حساب المساحات والحجوم باستخدام التكامل المحدد — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الرياضيات — التكامل: حساب المساحات والحجوم باستخدام التكامل المحدد

المحتوى العلمي

التكامل المحدد من a إلى b للدالة f(x) يرمز له بـ ∫_a^b f(x)dx ويعطي المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور x بين x=a وx=b. النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت F'(x)=f(x) فإن ∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a). طرق التكامل: التكامل المباشر والتكامل بالتعويض والتكامل بالتجزئة ∫u.dv = u.v – ∫v.du. حساب الحجوم: حجم جسم ناتج عن دوران منحنى y=f(x) حول محور x يعطى بـ V=π∫_a^b [f(x)]²dx. تطبيقات: حساب مساحة سطح تحت منحنى وحساب المسافة من السرعة وحساب الشغل المبذول بقوة متغيرة.

أمثلة تطبيقية

مثال: المساحة المحصورة بين f(x)=x² ومحور x من x=0 إلى x=2: ∫_0^2 x²dx = [x³/3]_0^2 = 8/3 وحدة مربعة. مثال آخر: لحساب حجم الجسم الناتج عن دوران f(x)=x² حول محور x من x=1 إلى x=3: V=π∫_1^3 (x²)²dx = π∫_1^3 x⁴dx = π[x⁵/5]_1^3 = π(243/5 – 1/5) = 242π/5 وحدة حجم.

تمارين

التمرين الأول: احسب ∫_0^1 (3x² + 2x – 1) dx.
التمرين الثاني: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين f(x)=√x ومحور x من x=0 إلى x=4.
التمرين الثالث: احسب حجم الجسم الناتج عن دوران f(x)=x² حول محور x من x=1 إلى x=3.