الرياضيات — تمارين في الحساب الحرفي: النشر والتعميل والتحليل — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

تمارين في الحساب الحرفي: النشر والتعميل والتحليل

الحساب الحرفي هو أساس الرياضيات في المرحلة الثانوية. هذا الدرس يقدم تمارين شاملة حول النشر والتعميل وتحليل العبارات الجبرية مع تطبيقات على المتطابقات الشهيرة.

أولا: المتطابقات الشهيرة

(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² – 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² – b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
a³ + b³ = (a+b)(a² – ab + b²)
a³ – b³ = (a-b)(a² + ab + b²)

ثانيا: النشر (Développement)

النشر هو عملية تحويل جداء إلى مجموع جبري.

مثال 1: انشر وبسّط: A = (2x-3)² – (x+1)(x-2)
الحل: (2x-3)² = 4x²-12x+9. (x+1)(x-2) = x²-2x+x-2 = x²-x-2. A = (4x²-12x+9) – (x²-x-2) = 4x²-12x+9-x²+x+2 = 3x²-11x+11.

ثالثا: التعميل (Factorisation)

التعميل هو عملية عكس النشر: تحويل مجموع جبري إلى جداء.

طرق التعميل:
1. العامل المشترك الأكبر: ac + ad = a(c+d)
2. المتطابقات الشهيرة: a² – b² = (a-b)(a+b)
3. التعميل بتجميع الحدود: ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (a+b)(x+y)
4. تحليل ثلاثي الحدود: x² + Sx + P = (x+a)(x+b) حيث a+b=S و a×b=P

مثال 2: عمّل: B = x² – 9 + (x-3)(2x+1)
الحل: x²-9 = (x-3)(x+3). إذن B = (x-3)(x+3) + (x-3)(2x+1) = (x-3)[(x+3)+(2x+1)] = (x-3)(3x+4).

رابعا: تبسيط العبارات الجبرية

مثال 3: بسّط: C = (x+2)/(x²-4) – 1/(x-2)
الحل: x²-4 = (x-2)(x+2). C = (x+2)/((x-2)(x+2)) – 1/(x-2) = 1/(x-2) – 1/(x-2) = 0.

تمارين تطبيقية

1. انشر وبسّط: (3x-1)² – 2(x+4)(x-4) + (x+2)³
2. عمّل: 4x²-12x+9، 9x²-25، x³-8
3. حل المعادلة: (2x-1)² – (x+3)² = 0 باستخدام التعميل
4. بسّط العبارة: (x²-1)/(x²-2x+1) × (x-1)/(x+1)
5. عمّل: 3x²-5x-2 (باستخدام تحليل ثلاثي الحدود)

خلاصة

النشر والتعميل أدوات أساسية في الجبر. إتقان هذه المهارات يسهل حل المعادلات والمتراجحات وتبسيط العبارات الجبرية. المتطابقات الشهيرة هي مفتاح فهم هذه العمليات.

دروس مشابهة

• الأعداد الناطقة: العمليات والتبسيط
• الأعداد غير الناطقة: الجذور التربيعية