الرياضيات — تمارين بكالوريا في المتتاليات العددية — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

تمارين بكالوريا في المتتاليات العددية

المتتاليات العددية من المحاور الأساسية في برنامج البكالوريا. هذا الدرس يقدم تمارين شاملة حول المتتاليات الحسابية والهندسية وطرق دراسة التقارب والرتابة.

1. المتتاليات الحسابية

تعريف: متتالية عددية حيث الفرق بين حدين متتاليين ثابت: u_{n+1} – u_n = r (r هو الأساس).
الحد العام: u_n = u₀ + nr
المجموع: S_n = ∑u_k = n(u₀+u_{n-1})/2

مثال 1: متتالية حسابية حدها الأول u₀=3 وأساسها r=2. احسب u₁₀ ومجموع الحدود العشرة الأولى.
الحل: u₁₀ = 3 + 10×2 = 23. S₁₀ = 10(3+21)/2 = 10×24/2 = 120.

2. المتتاليات الهندسية

تعريف: متتالية عددية حيث النسبة بين حدين متتاليين ثابتة: u_{n+1}/u_n = q (q هو الأساس).
الحد العام: u_n = u₀ × qⁿ
المجموع: S_n = u₀(1-qⁿ)/(1-q) (إذا كان q ≠ 1)

مثال 2: متتالية هندسية u₀=2 و q=3. احسب u₅ ومجموع الحدود الستة الأولى.
الحل: u₅ = 2×3⁵ = 2×243 = 486. S₆ = 2(1-3⁶)/(1-3) = 2(1-729)/(-2) = 728.

3. دراسة الرتابة والتقارب

الرتابة: u_{n+1} – u_n ≥ 0 → متزايدة. u_{n+1} – u_n ≤ 0 → متناقصة.
نهاية متتالية: إذا كانت u_n = qⁿ: lim qⁿ = 0 إذا |q|<1، lim qⁿ = 1 إذا q=1، lim qⁿ = ∞ إذا q>1.
نظرية التقارب: كل متتالية متزايدة ومكبورة تتقارب. كل متتالية متناقصة ومصغورة تتقارب.

مثال 3: ادرس تقارب المتتالية u_{n+1} = √(u_n + 2) حيث u₀=0.
الحل: بالبرهان بالترجع نثبت أن 0≤u_n≤2 وأن u_n متزايدة. إذن u_n تتقارب نحو حد L يحقق L = √(L+2) → L² = L+2 → L=2 (L>0).

4. تمارين شاملة

مثال 4: u_n معرفة بـ u_{n+1} = 0.5u_n + 1 و u₀=0. عين v_n = u_n – 2. أثبت أن v_n هندسية ثم استنتج u_n.
الحل: v_{n+1} = u_{n+1} – 2 = 0.5u_n + 1 – 2 = 0.5u_n – 1 = 0.5(u_n – 2) = 0.5v_n. إذن v_n هندسية أساسها ½. v_n = -2×(½)ⁿ. u_n = 2 – 2×(½)ⁿ.

تمارين بكالوريا

1. درّس رتابة المتتالية u_n = (2n+1)/(n+1). أحسب نهايتها.
2. متتالية هندسية v_n حيث v₁=4 و v₃=16. أوجد q ثم احسب S₁₀.
3. u_n معرفة بـ u_{n+1} = 0.8u_n + 1 و u₀=5. عين v_n = u_n – 5. استنتج u_n ثم أحسب lim u_n.
4. u_n = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ. اكتب u_n بدلالة n ثم أحسب نهايتها.
5. مثلث قائم الزاوية طولا ضلعيه القائمين 3 و 4. ننشئ متتالية من المثلثات القائمة حيث الوتر يصبح ضلعا قائما في المثلث التالي. جد أطوال الأضلاع والحد العام.

خلاصة

المتتاليات العددية أداة قوية في الرياضيات. يجب إتقان حساب الحد العام والمجموع ودراسة الرتابة والتقارب. هذه المفاهيم أساسية في التحليل الرياضي.

دروس مشابهة

• المتتاليات العددية: تقارب المتتاليات وحساب النهايات
• المتتاليات الحسابية والهندسية: تمارين شاملة