الرياضيات — الهندسة التحليلية: المنحنيات البارامترية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الهندسة التحليلية: المنحنيات البارامترية

المنحنيات البارامترية (Parametric Curves) تمثل مجموعة نقاط (x,y) حيث كل إحداثية دالة في وسيط t.

1. تمثيل منحنى بارامترياً

نكتب x = f(t) و y = g(t) على مجال [a,b]. الوسيط t يمثل عادة الزمن.

مثال: الدائرة: x = R·cosθ, y = R·sinθ, θ ∈ [0, 2π].

القطع المكافئ: x = a·cosθ, y = b·sinθ.

2. المشتقة والمماس

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt). معادلة المماس: y – y₀ = (dy/dx)×(x – x₀).

مثال: x = t², y = t³ عند t=1. dx/dt=2t=2, dy/dt=3t²=3. dy/dx=3/2. x₀=1, y₀=1. المماس: y-1 = (3/2)(x-1).

3. طول القوس

L = ∫ √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt

4. تمارين

تمرين 1: مثل المنحنى x = t²-1, y = t+1 لـ t ∈ [-2,2].

تمرين 2: أوجد معادلة المماس للمنحنى x = cos t, y = sin 2t عند t=π/4.

تمرين 3: احسب طول قوس الدائرة x=R cos t, y=R sin t من t=0 إلى t=π/2.

📍 دروس مشابهة

• المتتاليات العددية: تقارب المتتاليات وحساب النهايات — الثانية ثانوي–
• الدوال اللوغاريتمية: المعادلات اللوغاريتمية — الثانية ثانوي
• المتتاليات الحسابية والهندسية: تمارين شاملة — الثانية ثانوي
• الاتصال: تعريف وخصائص — الثانية ثانوي