الرياضيات — الدوال المثلثية: الدالتان sin و cos — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

الدوال المثلثية: الدالتان sin و cos

الدوال المثلثية (Fonctions trigonométriques) هي دوال تربط زاوية بنسبة بين أضلاع مثلث قائم. أشهرها دالة الجيب (sin) ودالة جيب التمام (cos). تستخدم هذه الدوال في دراسة الظواهر الدورية كالموجات والحركة الاهتزازية.

تعريف دالة الجيب وجيب التمام

في دائرة الوحدة (Cercle trigonométrique) التي مركزها الأصل ونصف قطرها 1، لكل زاوية θ محصورة بين المحور الأفقي والخط المار بنقطة على الدائرة، نعرف:

• cos θ: إحداثي x للنقطة على دائرة الوحدة.
• sin θ: إحداثي y للنقطة على دائرة الوحدة.

الدالة f(x) = sin x و f(x) = cos x معرفتان على مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ وقيمتهما محصورة بين -1 و 1.

خصائص الدوال المثلثية

• الدورية: كلا الدالتين دوريتان بدور 2π: sin(x + 2π) = sin x و cos(x + 2π) = cos x.
• الزوجية: cos زوجية (cos(-x) = cos x)، sin فردية (sin(-x) = – sin x).
• الهوية الأساسية: sin²x + cos²x = 1.
• صفر الدالة: sin x = 0 عندما x = kπ (k∈ℤ)، cos x = 0 عندما x = π/2 + kπ.

التمثيل البياني

التمثيل البياني لدالة sin هو منحنى جيبي يمر بالأصل ويتأرجح بين -1 و 1. أما دالة cos فلها نفس الشكل لكنها منزاحة إلى اليسار بمقدار π/2. نلاحظ أن: sin(x + π/2) = cos x.

علاقات مهمة

• sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
• cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
• sin(2x) = 2 sin x cos x
• cos(2x) = cos²x – sin²x = 2cos²x – 1 = 1 – 2sin²x

تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب sin(π/6) و cos(π/3) باستخدام دائرة الوحدة.

التمرين 2: أثبت أن sin(π/2 – x) = cos x.

التمرين 3: حل المعادلة sin x = 1/2 في المجال [0, 2π].

للمزيد من المعلومات، راجع درس دراسة الدوال العددية ودرس الدوال الأسية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الهندسة التحليلية في الفضاء: المستقيمات والمستويات — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري