الرياضيات — الدوال الأسية: تعريف وخصائص — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

مقدمة عن الدوال الأسية

الدوال الأسية هي من أهم الدوال في الرياضيات، وتظهر في العديد من التطبيقات العلمية مثل النمو السكاني والاضمحلال الإشعاعي والفائدة المركبة. سنتعرف في هذا الدرس على تعريف الدالة الأسية وخصائصها الأساسية.

تعريف الدالة الأسية

الدالة الأسية للأساس a (حيث a > 0 و a ≠ 1) هي الدالة المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ كما يلي:

f(x) = a^x

حيث a هو الأساس و x هو الأس. الحالة الخاصة عندما a = e (حيث e ≈ 2.71828) تسمى الدالة الأسية الطبيعية وتكتب f(x) = e^x أو exp(x).

خصائص الدالة الأسية

• مجموعة التعريف: جميع الأعداد الحقيقية ℝ
• المدى: الأعداد الحقيقية الموجبة ]0, +∞[
• رتيبة: تزايدية قطعاً إذا كان a > 1، وتناقصية قطعاً إذا كان 0 < a < 1
• قانون الجمع: a^x+y = a^x · a^y
• قانون الطرح: a^x−y = a^x / a^y
• قانون الضرب: (a^x)^y = a^x·y
• تحليل الأعداد: (a·b)^x = a^x · b^x

مميزات هامة

التمثيل البياني للدالة الأسية يمر بالنقطة (0,1) دائماً. كما أن محور الفواصل (Ox) هو مقارب أفقي للمنحنى. الدالة الأسية بالأساس a > 1 تنمو بسرعة كبيرة جداً مقارنة بالدوال الحدودية — وهذا ما يعرف بالنمو الأسي.

مثال تطبيقي

تمارين

1. احسب: (a) 5³ (b) (1/2)⁴ (c) 10⁰
2. بسط: (3²)³ × 3⁻⁴
3. حل المعادلة: 2^x = 16
4. مثل بيانياً الدالة f(x) = 2^x ثم حدد إشارتها ورتابتها

للمزيد من المعلومات، راجع درس الدوال اللوغاريتمية ودرس النهايات والاستمرارية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — التفاضل: تطبيقات اقتصادية وفيزيائية — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الأعداد العقدية: تمثيل وعمليات — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري