الرياضيات — حساب المثلثات: النسب المثلثية للزوايا الخاصة — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

الرياضيات — حساب المثلثات: النسب المثلثية للزوايا الخاصة — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس نقدم شرحا مفصلا وتمارين تطبيقية حول “النسب المثلثية للزوايا الخاصة” لتلاميذ الرابعة متوسط. الزوايا الخاصة (30°، 45°، 60°) لها قيم ثابتة للجيب وجيب التمام والظل تسهل علينا الحسابات المثلثية.

أهداف الدرس

• حفظ قيم النسب المثلثية للزوايا الخاصة (30°، 45°، 60°).
• استخدام هذه القيم في حل المسائل.
• حساب الأضلاع المجهولة في المثلث القائم.
• تطبيق النسب المثلثية في مسائل عملية.

المحتوى العلمي

تذكير: في المثلث القائم، نعرف:

• sin(θ) = المقابل / الوتر
• cos(θ) = المجاور / الوتر
• tan(θ) = المقابل / المجاور

جدول النسب المثلثية للزوايا الخاصة:

الزاوية	sin	cos	tan
30°	1/2	√3/2	1/√3 = √3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3

مثال: في مثلث قائم، الوتر = 10 سم والزاوية الحادة = 30°. احسب الضلعين الآخرين. الحل: المقابل = sin30° × الوتر = (1/2)×10 = 5 سم. المجاور = cos30° × الوتر = (√3/2)×10 = 5√3 سم.

التمارين التطبيقية

التمرين 1: في مثلث قائم، الضلع المجاور للزاوية 60° يساوي 4 سم. احسب الوتر والضلع المقابل.

التمرين 2: سلم طوله 6 أمتار يميل على جدار ويكون زاوية 45° مع الأرض. احسب ارتفاع الجدار الذي يصل إليه السلم وبعد قاعدة السلم عن الجدار.

التمرين 3: أثبت أن: sin²30° + cos²30° = 1 و sin²45° + cos²45° = 1.

الإجابات النموذجية

حل 1: cos60° = المجاور/الوتر ⇒ 1/2 = 4/الوتر ⇒ الوتر = 8 سم. sin60° = المقابل/الوتر ⇒ √3/2 = المقابل/8 ⇒ المقابل = 4√3 سم.

حل 2: cos45° = المجاور/الوتر ⇒ √2/2 = ب/6 ⇒ ب = 3√2 م. sin45° = المقابل/الوتر ⇒ √2/2 = ع/6 ⇒ ع = 3√2 م.

حل 3: sin²30° + cos²30° = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1. sin²45° + cos²45° = (√2/2)² + (√2/2)² = 2/4 + 2/4 = 1.

خلاصة الدرس

حفظ قيم النسب المثلثية للزوايا الخاصة (30°، 45°، 60°) ضروري لحل المسائل المثلثية بسرعة. تذكر أن sin²θ + cos²θ = 1 لأي زاوية.

دروس مشابهة

• المتجهات في المستوى
• جملة معادلتين من الدرجة الأولى