الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: تعريف وخصائص وتمارين — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال اللوغاريتمية: تعريف وخصائص

المستوى: الثانية ثانوي (شعب علمية)

1. تعريف اللوغاريتم النيبيري

الدالة ln(x) معرفة على ]0,+∞[ بحيث ln(1)=0 و ln(e)=1. الدالة ln هي الدالة العكسية للدالة eˣ، أي ln(eˣ)=x و e^{ln x}=x.

2. خصائص ln

• ln(a·b)=ln(a)+ln(b)
• ln(a/b)=ln(a)-ln(b)
• ln(aⁿ)=n·ln(a)
• ln(1/a)=-ln(a)

مثال: ln(12)=ln(3×4)=ln3+ln4, ln(8)=ln(2³)=3ln2

3. مشتقة الدالة اللوغاريتمية

(ln(x))′=1/x (لـ x>0), (ln(u))′=u′/u

مثال: f(x)=ln(3x²+1) → f′(x)=6x/(3x²+1)

4. المعادلات اللوغاريتمية

ln(x)=ln(y) ⇔ x=y. ln(x)=k ⇔ x=eᵏ

5. نهايات مهمة

lim_x→0⁺ ln(x)=-∞, lim_x→+∞ ln(x)=+∞, lim_x→0⁺ x·ln(x)=0

تمارين تطبيقية

التمرين 1: حل ln(2x-1)=0, ln(x²)=4, ln(x+1)+ln(x-1)=ln(3)

التمرين 2: احسب مشتقة f(x)=ln(5x²-3x+1)

الحلول:

حل 1: 2x-1=1 → x=1. x²=e⁴ → x=e² (لأن x>0). ln((x+1)(x-1))=ln3 → x²-1=3 → x=2 (لأن x>1)

حل 2: f′(x)=(10x-3)/(5x²-3x+1)

للمزيد من الدروس، راجع درس دراسة الدوال ودرس الدوال الأسية.