الرياضيات — الدوال الأسية: تعريف وخصائص وتمارين — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال الأسية: تعريف وخصائص

المستوى: الثانية ثانوي (شعب علمية)

1. تعريف الدالة الأسية

الدالة الأسية للأساس a (حيث a>0 و a≠1) هي الدالة f(x)=aˣ. هناك أساس خاص e حيث f(x)=eˣ. وهي من أهم الدوال في الرياضيات والتطبيقات العلمية.

2. خصائص الدالة الأسية

• e⁰=1, e¹=e
• eˣ⁺ʸ=eˣ·eʸ
• eˣ⁻ʸ=eˣ/eʸ
• (eˣ)ⁿ=eⁿˣ
• lim_x→-∞ eˣ=0, lim_x→+∞ eˣ=+∞

3. مشتقة الدالة الأسية

(eˣ)′=eˣ, (eᵘˣ)′=u′·eᵘˣ

مثال: f(x)=e³ˣ⁺² → f′(x)=3e³ˣ⁺²

4. المعادلات الأسية

eˣ=eʸ ⇔ x=y. eˣ=k ⇔ x=ln(k) (k>0)

5. اتجاه تغير الدالة الأسية

الدالة f(x)=eˣ تزايدية قطعاً على R لأن f′(x)=eˣ>0 لكل x.

الدالة f(x)=e⁻ˣ تناقصية قطعاً على R لأن f′(x)=-e⁻ˣ<0.

تمارين تطبيقية

التمرين 1: حل المعادلات: e²ˣ⁻¹=1, eˣ²=4, e³ˣ⁺²=eˣ⁻¹

التمرين 2: احسب مشتقة f(x)=5e²ˣ⁺¹ + 3e⁻ˣ

التمرين 3: ادرس اتجاه تغير الدالة f(x)=eˣ-2x

الحلول:

حل 1: 2x-1=0 → x=½. x²=ln4 → x=±√(ln4). 3x+2=x-1 → 2x=-3 → x=-3/2

حل 2: f′(x)=5·2e²ˣ⁺¹ + 3·(-1)e⁻ˣ = 10e²ˣ⁺¹ – 3e⁻ˣ

حل 3: f′(x)=eˣ-2. f′(x)=0 → x=ln2. f تناقصية على ]-∞,ln2] وتزايدية على [ln2,+∞[

للمزيد من الدروس، راجع درس دراسة الدوال ودرس تطبيقات الاشتقاق.