الرياضيات — الدوال العددية: تعريف وتمثيل ودراسة — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال العددية: تعريف وتمثيل ودراسة

المستوى: الأولى ثانوي (شعب علمية)

I. تعريف الدالة العددية

الدالة العددية f هي قاعدة تربط كل عدد حقيقي x من مجموعة تعريفها D_f بعدد حقيقي وحيد f(x). نكتب: f: x → f(x).

مثال: الدالة f(x) = 2x + 3 تربط كل عدد x بالعدد 2x + 3. f(1) = 5, f(-2) = -1.

II. مجموعة التعريف

مجموعة التعريف D_f هي مجموعة الأعداد الحقيقية x التي يكون f(x) معرفاً لها.

أمثلة:

• الدالة f(x) = x² معرفة على R (جميع الأعداد الحقيقية)
• الدالة f(x) = 1/x معرفة على R* (الأعداد الحقيقية غير المعدومة)
• الدالة f(x) = √x معرفة على [0, +∞[

III. التمثيل البياني (المبيان)

التمثيل البياني لدالة f في معلم متعامد هو مجموعة النقط M(x, f(x)) حيث x ∈ D_f. لإنشاء المبيان، ننشئ جدول قيم ونرسم النقط ثم نوصل بينها.

مثال: الدالة f(x) = x²: مبيانها قطع مكافئ (Parabola) رأسه نقطة الأصل.

IV. اتجاه تغير الدالة (الرتابة)

لتكن f دالة معرفة على مجال I:

• نقول إن f تزايدية على I إذا كان: لكل x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
• نقول إن f تناقصية على I إذا كان: لكل x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)
• نقول إن f ثابتة على I إذا كان: f(x) = C (عدد ثابت)

مثال: الدالة f(x) = 2x تزايدية على R لأن 2 > 0. الدالة f(x) = -x تناقصية على R.

V. التمثيل البياني للدوال المرجعية

• الدالة الخطية: f(x) = ax (مستقيم يمر بنقطة الأصل)
• الدالة التآلفية: f(x) = ax + b (مستقيم)
• الدالة مربع: f(x) = x² (قطع مكافئ)
• الدالة مقلوب: f(x) = 1/x (قطع زائد)
• الدالة جذر: f(x) = √x (نصف قطع مكافئ)

تمارين تطبيقية

التمرين 1: حدد مجموعة تعريف كل دالة مما يلي: f(x) = (x+1)/(x-3), g(x) = √(x-2)

التمرين 2: ادرس اتجاه تغير الدالة f(x) = x² على المجال [0, +∞[

التمرين 3: أنشئ جدول قيم الدالة f(x) = 2x – 1 من أجل x ∈ [-2, 3] ثم ارسم مبيانها.

الحلول:

حل 1: D_f = R \ {3}, D_g = [2, +∞[

حل 2: f تزايدية على [0, +∞[ لأن x₁² < x₂² عندما x₁ < x₂

حل 3: جدول القيم: f(-2)=-5, f(-1)=-3, f(0)=-1, f(1)=1, f(2)=3, f(3)=5. المبيان مستقيم.

للمزيد من الدروس، راجع درس دراسة الدوال ودرس الدوال المرجعية.