الرياضيات — الاشتقاقية: تعريف المشتقة وقواعد الاشتقاق — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الاشتقاقية: تعريف المشتقة وقواعد الاشتقاق

المستوى: الأولى ثانوي (شعب علمية)

I. تعريف المشتقة

لتكن f دالة معرفة على مجال I و x₀ ∈ I. نقول إن f قابلة للاشتقاق في x₀ إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:

f'(x₀) = lim_h→0 (f(x₀+h) – f(x₀)) / h

تسمى f'(x₀) العدد المشتق للدالة f في x₀.

II. التفسير الهندسي للمشتقة

f'(x₀) يمثل معامل توجيه المماس للمنحنى (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة x₀. معادلة المماس هي:

y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀)

مثال: للدالة f(x) = x² عند x₀ = 1: f'(1) = 2, معادلة المماس: y = 2(x-1) + 1 = 2x – 1

III. قواعد الاشتقاق الأساسية

الدالة f(x)	المشتقة f'(x)
C (ثابت)	0
x	1
xⁿ (n ∈ N*)	n·xn-1
1/x	-1/x²
√x	1/(2√x)
sin x	cos x
cos x	-sin x

IV. عمليات على المشتقات

• (u + v)' = u' + v'
• (ku)' = k·u' (k ثابت)
• (u·v)' = u'·v + u·v'
• (u/v)' = (u'·v – u·v') / v²
• (uⁿ)' = n·u^n-1·u'

مثال: f(x) = (3x+2)(x²-1): f'(x) = 3(x²-1) + (3x+2)(2x) = 3x² – 3 + 6x² + 4x = 9x² + 4x – 3

V. تطبيقات المشتقة

• اتجاه تغير الدالة: f'(x) > 0 ⇒ f تزايدية, f'(x) < 0 ⇒ f تناقصية
• النقط الحرجة: f'(x) = 0 (نقطة انعطاف أو نهاية محلية)

تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب مشتقة الدوال التالية: f(x) = 3x² – 5x + 2, g(x) = (2x+1)/(x-3)

التمرين 2: ادرس اتجاه تغير الدالة f(x) = x³ – 3x² + 1

الحلول:

حل 1: f'(x) = 6x – 5, g'(x) = (2(x-3) – (2x+1)(1))/(x-3)² = -7/(x-3)²

حل 2: f'(x) = 3x² – 6x = 3x(x-2). f'(x)=0 عند x=0 و x=2. f تزايدية على ]-∞,0] و [2,+∞[ وتناقصية على [0,2]

للمزيد من الدروس، راجع درس دراسة الدوال ودرس تطبيقات الاشتقاق.