الرياضيات — الأعداد المركبة: الشكل الجبري والمثلثي — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: الشكل الجبري والمثلثي

المستوى: الثالثة ثانوي (شعب علمية)

1. تعريف العدد المركب

العدد المركب z يكتب على الشكل z=x+iy حيث x,y∈R و i²=-1. x=Re(z) (الجزء الحقيقي)، y=Im(z) (الجزء التخيلي).

2. العمليات على الأعداد المركبة

• (a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d)
• (a+ib)(c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc)
• مرافق z هو z̄=x-iy
• معيار z: |z|=√(x²+y²)

3. الشكل المثلثي

z = r(cosθ + i·sinθ) حيث r=|z| و θ=arg(z)

صيغة موافر: (cosθ+i·sinθ)ⁿ = cos(nθ)+i·sin(nθ)

صيغة أويلر: e^{iθ} = cosθ + i·sinθ

4. تطبيقات

حل المعادلات من الدرجة الثانية في C: ax²+bx+c=0 حيث المميز Δ<0، الجذور هي: x=(-b±i√|Δ|)/(2a)

تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب (1+i)⁶ باستخدام صيغة موافر.

التمرين 2: حل في C: z²+2z+5=0

الحلول:

حل 1: 1+i = √2(cos45°+i·sin45°), (1+i)⁶ = (√2)⁶(cos270°+i·sin270°) = 8(0-i) = -8i

حل 2: Δ=4-20=-16, z=(-2±4i)/2 = -1±2i

للمزيد من الدروس، راجع درس المعادلات من الدرجة الثانية ودرس تطبيقات الاشتقاق.