الرياضيات — التكامل: تعريف وخصائص وحساب المساحات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التكامل: تعريف وخصائص وحساب المساحات

المستوى: الثالثة ثانوي (شعب علمية)

1. تعريف التكامل

إذا كانت f دالة متصلة على المجال [a,b] و F دالة أصلية لـ f على هذا المجال، فإن: ∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

2. خصائص التكامل

• ∫_a^b (f+g) = ∫_a^b f + ∫_a^b g
• ∫_a^b k·f = k·∫_a^b f
• ∫_a^b f = -∫_b^a f
• ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f (علاقة شال)

3. حساب المساحة

مساحة الحصر بين منحنيي دالتين f و g على المجال [a,b] هي: A = ∫_a^b |f(x)-g(x)| dx

مثال: احسب مساحة الحصر بين y=x² و y=x على [0,1]: A = ∫₀¹ (x-x²)dx = [x²/2-x³/3]₀¹ = 1/2-1/3 = 1/6

4. التكامل بالتجزئة

∫ u·dv = u·v – ∫ v·du

مثال: ∫ x·eˣ dx = x·eˣ – ∫ eˣ dx = x·eˣ – eˣ + C

تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب ∫₀² (3x²-2x+1)dx

التمرين 2: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(x)=x² و g(x)=x+2

الحلول:

حل 1: [x³-x²+x]₀² = (8-4+2)-0 = 6

حل 2: نقاط التقاطع: x²=x+2 → x²-x-2=0 → x=-1 أو x=2. A=∫_-1² (x+2-x²)dx = 9/2

للمزيد من الدروس، راجع درس دراسة الدوال ودرس تطبيقات الاشتقاق.