الرياضيات — المعادلات التفاضلية: تعريف وحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية: تعريف وحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى

المستوى: الثالثة ثانوي (شعب علمية)

1. تعريف المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين دالة ومشتقاتها. من الرتبة الأولى: y′ = f(x,y).

2. المعادلة y′=ay

حلها: y(x)=C·e^{ax} حيث C∈R ثابت.

مثال: y′=3y → y(x)=C·e^{3x}

3. المعادلة y′=ay+b

حلها: y(x)=C·e^{ax} – b/a (حيث a≠0)

مثال: y′=2y+4 → y(x)=C·e^{2x} – 2

4. المعادلة y″+ω²y=0 (نواس مرن)

حلها: y(x)=A·cos(ωx)+B·sin(ωx)

تمارين تطبيقية

التمرين 1: حل y′=5y مع الشرط y(0)=3

التمرين 2: حل y′=2y-6

الحلول:

حل 1: y=Ce^{5x}. y(0)=C=3 → y=3e^{5x}

حل 2: y=Ce^{2x}+3

للمزيد: راجع درس دراسة الدوال ودرس الاشتقاق.