الرياضيات — المصفوفات: جمع وضرب المصفوفات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المصفوفات: جمع وضرب المصفوفات

المستوى: الثالثة ثانوي (شعب علمية)

1. تعريف المصفوفة

المصفوفة من النوع (n×m) هي جدول من الأعداد الحقيقية مرتب في n سطراً و m عموداً. نكتب A=(a_ij) حيث i رقم السطر و j رقم العمود.

2. جمع المصفوفات

نجمع مصفوفتين من نفس النوع بجمع العناصر المتناظرة: (A+B)_ij=a_ij+b_ij

مثال: A=[1 2; 3 4], B=[5 6; 7 8] → A+B=[6 8; 10 12]

3. ضرب مصفوفة بعدد

(k·A)_ij=k·a_ij

4. ضرب المصفوفات

ضرب A(n×m) في B(m×p) يعطي C(n×p): c_ij=∑a_ik·b_kj

مثال: A=[1 2; 3 4] (2×2), B=[5; 6] (2×1) → AB=[1·5+2·6; 3·5+4·6]=[17; 39]

5. المصفوفة المربعة والمحدد

لمصفوفة 2×2: det(A)=a·d-b·c. المصفوفة المقلوبة: A⁻¹=(1/det(A))[d -b; -c a]

تمارين

التمرين 1: A=[1 -1; 2 3], B=[0 2; 1 4]. احسب A+B, 2A, AB, BA.

التمرين 2: احسب محدد A و A⁻¹ إذا كان موجوداً: A=[2 1; 5 3]

الحلول:

حل 1: A+B=[1 1; 3 7], 2A=[2 -2; 4 6], AB=[-1 -2; 3 16], BA=[4 6; 9 11]

حل 2: det=2·3-1·5=1. A⁻¹=[3 -1; -5 2]

للمزيد: راجع درس المعادلات ودرس الاشتقاق.