الرياضيات — الجداء السلمي في المستوي: تعريف وخصائص — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الجداء السلمي في المستوي: تعريف وخصائص

المستوى: الثانية ثانوي (شعب علمية)

1. تعريف الجداء السلمي

الجداء السلمي لشعاعين u(x,y) و v(x’,y’) هو: u·v = x·x’ + y·y’ (في معلم متعامد ممنظم)

هندسياً: u·v = |u|·|v|·cos(u,v)

2. خاصيات الجداء السلمي

• u·v = v·u (تبادلي)
• u·(v+w) = u·v + u·w (توزيعي)
• u·u = |u|² (مربع معيار الشعاع)
• u·v = 0 ⇔ u ⟂ v (تعامد)

3. تطبيقات

المسافة بين نقطتين: AB = √((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²)

معادلة دائرة: مجموعة النقط M حيث AM·BM=0 (قطر)

معادلة مستقيم: n·AM=0 (n شعاع ناظمي)

تمارين

التمرين 1: u(2,3), v(-1,4). احسب u·v و |u| و |v| و cos(u,v).

التمرين 2: حدد إذا كان الشعاعان متعامدين: u(1,2), v(2,-1)

الحلول:

حل 1: u·v=2·(-1)+3·4=10. |u|=√(4+9)=√13. |v|=√(1+16)=√17. cosθ=10/√(221)

حل 2: u·v=1·2+2·(-1)=0 → نعم، متعامدان

للمزيد: راجع درس الهندسة التحليلية ودرس المتجهات.