الرياضيات — الدوال المثلثية العكسية (Fonctions Trigonométriques Réciproques) — Arcsin, Arccos, Arctan — الثالثة ثانوي — بكالوريا

الرياضيات — الدوال المثلثية العكسية (Fonctions Trigonométriques Réciproques) — Arcsin, Arccos, Arctan — الثالثة ثانوي — بكالوريا

مقدمة

الدوال المثلثية العكسية هي دوال عكسية للدوال المثلثية الأساسية (sin, cos, tan) المقيدة على مجالات مناسبة. تسمح هذه الدوال بإيجاد الزاوية التي تحقق قيمة معينة لدالة مثلثية. في هذا الدرس، سنتعرف على تعريف كل دالة، مجال تعريفها، صورتها، اشتقاقها، مع أمثلة بكالوريا محلولة.

1. دالة Arcsin (قوس الجيب)

الدالة y = Arcsin x هي الدالة العكسية للدالة sin x المقيدة على المجال [-π/2, π/2].

• المجال: D = [-1, 1]
• المدى: [-π/2, π/2]
• التعريف: y = Arcsin x ⇔ sin y = x و y ∈ [-π/2, π/2]
• الاشتقاق: (Arcsin x)’ = 1/√(1-x²) لكل x ∈ ]-1, 1[
• الخاصية: sin(Arcsin x) = x (لـ x ∈ [-1, 1])، Arcsin(sin x) = x (لـ x ∈ [-π/2, π/2])

2. دالة Arccos (قوس جيب التمام)

الدالة y = Arccos x هي الدالة العكسية للدالة cos x المقيدة على المجال [0, π].

• المجال: D = [-1, 1]
• المدى: [0, π]
• التعريف: y = Arccos x ⇔ cos y = x و y ∈ [0, π]
• الاشتقاق: (Arccos x)’ = -1/√(1-x²) لكل x ∈ ]-1, 1[
• العلاقة: Arcsin x + Arccos x = π/2 (لـ x ∈ [-1, 1])

3. دالة Arctan (قوس الظل)

الدالة y = Arctan x هي الدالة العكسية للدالة tan x المقيدة على المجال ]-π/2, π/2[.

• المجال: D = ℝ (جميع الأعداد الحقيقية)
• المدى: ]-π/2, π/2[
• التعريف: y = Arctan x ⇔ tan y = x و y ∈ ]-π/2, π/2[
• الاشتقاق: (Arctan x)’ = 1/(1+x²) لكل x ∈ ℝ
• الخاصية: Arctan(-x) = -Arctan x (دالة فردية)
• النهايات: lim(x→+∞) Arctan x = π/2، lim(x→-∞) Arctan x = -π/2

العلاقات بين الدوال المثلثية العكسية

• Arcsin x + Arccos x = π/2
• Arctan x + Arctan(1/x) = π/2 (لـ x > 0)
• Arctan x + Arctan y = Arctan((x+y)/(1-xy)) + kπ (حيث k عدد صحيح يعتمد على إشارة x و y)

أمثلة بكالوريا محلولة

مثال 1: احسب: Arcsin(1/2) + Arccos(1/2) + Arctan(1).

الحل: Arcsin(1/2) = π/6 (لأن sin(π/6)=1/2)، Arccos(1/2) = π/3 (لأن cos(π/3)=1/2)، Arctan(1) = π/4 (لأن tan(π/4)=1). المجموع = π/6 + π/3 + π/4 = (2π+4π+3π)/12 = 9π/12 = 3π/4.

مثال 2 (بكالوريا): احسب: Arcsin(√3/2).

الحل: Arcsin(√3/2) = π/3 لأن sin(π/3)=√3/2 و π/3 ∈ [-π/2, π/2].

مثال 3: احسب مشتقة الدالة: f(x) = Arcsin(x²).

الحل: f'(x) = (1/√(1-(x²)²)) . 2x = 2x/√(1-x⁴).

مثال 4: احسب: Arctan(1) + Arctan(2) + Arctan(3) (دون استخدام آلة حاسبة).

الحل: نستخدم العلاقة: Arctan a + Arctan b = Arctan((a+b)/(1-ab)). Arctan 1 + Arctan 2 = Arctan(3/(1-2)) = Arctan(-3) = -Arctan 3. إذن Arctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3 = 0. يمكن التحقق: tan(Arctan1+Arctan2+Arctan3)=0 مما يعني أن المجموع = π (أو 0 أو kπ). بالتحقق من الإشارة، المجموع = π.

الخلاصة

الدوال المثلثية العكسية: Arcsin (مجال [-1,1]، مدى [-π/2,π/2])، Arccos (مجال [-1,1]، مدى [0,π])، Arctan (مجال ℝ، مدى ]-π/2,π/2[). مشتقاتها: Arcsin’=1/√(1-x²)، Arccos’=-1/√(1-x²)، Arctan’=1/(1+x²). العلاقة الأساسية: Arcsin x + Arccos x = π/2.

📍 دروس مشابهة

• التكامل (Intégrales) في الرياضيات: حساب التكامل وطرقه وتطبيقاته (حساب المساحات)
• الدوال الأصلية: تعريفها وطرق حسابها مع تمارين بكالوريا محلولة — الثالثة ثانوي (ب
• الدوال اللوغاريتمية: تعريف الدالة ln وخصائصها وتمثيلها البياني مع تمارين بكالوري