مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الرياضيات – قابلية الاشتقاق (Dérivabilité) ودراسة تغيرات الدوال – الثالثة ثانوي – بكالوريا
مقدمة
قابلية الاشتقاق (Dérivabilité) مفهوم أساسي في التحليل الرياضي يسمح بدراسة تغيرات الدوال وتحديد اتجاه تغيرها ونقاطها الحرجة. إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق عند نقطة a، فإن منحناها يقبل مماسا عند هذه النقطة معادلة محددة. في هذا الدرس، سنتعرف على مفهوم قابلية الاشتقاق، الاشتقاق على اليمين واليسار، واستخدام المشتقة في دراسة تغيرات الدوال مع أمثلة بكالوريا محلولة.
تعريف قابلية الاشتقاق
تكون f قابلة للاشتقاق عند نقطة a إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية: lim(h->0) (f(a+h)-f(a))/h. هذه النهاية تسمى العدد المشتق f(a). هندسيا، تمثل ميل المماس للمنحنى عند النقطة (a, f(a)).
الاشتقاق على اليمين والاشتقاق على اليسار
إذا كانت f معرفة على مجال يحتوي a (باستثناء a ربما)، نعرف:
- المشتق على اليمين: f_d(a) = lim(h->0+) (f(a+h)-f(a))/h
- المشتق على اليسار: f_g(a) = lim(h->0-) (f(a+h)-f(a))/h
تكون f قابلة للاشتقاق عند a إذا وفقط إذا كان f_d(a) = f_g(a) (عدد منته).
التفسير الهندسي
- إذا كانت f قابلة للاشتقاق عند a: المنحنى يقبل مماسا عند النقطة (a,f(a)) غير مواز لمحور الأوامر.
- إذا كانت f_d(a) و f_g(a) منتهيتين ومختلفتين: المنحنى يقبل مماسين (زاوية) عند a.
- إذا كانت النهاية = +inf أو -inf: المنحنى يقبل مماسا موازيا لمحور الأوامر.
قواعد الاشتقاق
- (c) = 0
- (x^n) = n.x^(n-1)
- (sin x) = cos x
- (cos x) = -sin x
- (e^x) = e^x
- (ln x) = 1/x
- (u+v) = u+v
- (uv) = uv + uv
- (u/v) = (uv – uv)/v^2
- (fog)(x) = g(x) . f(g(x))
تطبيقات المشتقة في دراسة الدوال
تستخدم المشتقة في:
- تحديد اتجاه تغير الدالة (متزايدة / متناقصة): f(x) > 0 -> f متزايدة، f(x) < 0 -> f متناقصة.
- إيجاد القيم القصوى (النهايات المحلية): f(a) = 0 وتغير الإشارة عند a.
- تحديد نقاط الانعطاف (Points d’inflexion): حيث تغير f تقعر المنحنى.
- كتابة معادلة المماس: y = f(a)(x-a) + f(a).
جدول تغيرات الدالة
لدراسة دالة f، نتبع الخطوات:
- تحديد مجموعة التعريف Df.
- حساب المشتقة f(x).
- دراسة إشارة f(x).
- إنشاء جدول تغيرات (Tableau de variations) يبين إشارة f وتغيرات f.
- حساب النهايات عند حدود المجال.
- رسم التمثيل البياني.
أمثلة بكالوريا محلولة
مثال 1 (بكالوريا): الدالة f(x) = x^3 – 3x^2 + 1. احسب المشتقة وادرس إشارتها.
الحل: f(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x-2). الإشارة: f>0 لـ x<0 أو x>2، f<0 لـ 0 مثال 2 (بكالوريا 2022): ادرس قابلية اشتقاق الدالة f(x)=|x-1| عند x=1. الحل: f(x)=x-1 لـ x>=1 و f(x)=1-x لـ x<1. f_g(1)=lim(x->1-) (1-x)/(x-1)=-1. f_d(1)=lim(x->1+) (x-1)/(x-1)=1. f_g(1) != f_d(1)، إذن f غير قابلة للاشتقاق عند 1 (زاوية). قابلية الاشتقاق مفهوم أساسي في التحليل الرياضي. المشتقة f(x) تحدد تغيرات الدالة. قواعد الاشتقاق والقيمة المتوسطة والاشتقاق على اليمين واليسار أدوات مهمة لدراسة الدوال.الخلاصة
📍 دروس مشابهة
