الرياضيات – نهايات الدوال المثلثية (Limites des Fonctions Trigonométriques) – النهايات الأساسية والعمليات – الثالثة ثانوي

الرياضيات – نهايات الدوال المثلثية (Limites des Fonctions Trigonométriques) – النهايات الأساسية والعمليات – الثالثة ثانوي

مقدمة

نهايات الدوال المثلثية مهمة في دراسة الدوال وخاصة في حساب النهايات غير المحددة (FI) المرتبطة بالدوال المثلثية. في هذا الدرس، سنتعرف على النهايات الأساسية للدوال المثلثية، النهايات غير المحددة التي تتضمن sin و cos و tan، وكيفية حسابها باستخدام النهايات المرجعية مع أمثلة بكالوريا محلولة.

النهايات الأساسية للدوال المثلثية

يجب حفظ النهايات التالية (تعتبر مرجعية):

• lim(x->0) sin x / x = 1
• lim(x->0) (1 – cos x) / x = 0
• lim(x->0) tan x / x = 1
• lim(x->0) sin(ax) / (bx) = a/b
• lim(x->0) (1 – cos x) / x2 = 1/2

استخدام النهايات الأساسية لحل FI

لحساب نهايات FI للدوال المثلثية، نستخدم التحويلات الجبرية والهويات المثلثية للوصول إلى أحد الأشكال الأساسية. المفاتيح:

• نضرب ونقسم على x للحصول على شكل sin x / x.
• نستخدم الهوية: 1 – cos x = 2 sin2(x/2).
• نستخدم: tan x = sin x / cos x.
• نستخدم المتغير الجديد u = ax لتبسيط sin(ax)/(bx).

نهايات الدوال المثلثية عند اللانهاية

الدوال sin x و cos x ليس لها نهاية عندما x -> +/- infinity (تتذبذب بين -1 و 1). بينما:

• lim(x->+/-inf) sin x / x = 0 (لأن sin x محصورة و 1/x -> 0)
• lim(x->+/-inf) cos x / x = 0
• lim(x->+/-inf) (sin x) / xn = 0 (لـ n>0)

النهايات عند القيم المحددة

لحساب نهايات الدوال المثلثية عند نقطة محددة، نستخدم:

• اتصال الدوال المثلثية: lim(x->a) sin x = sin a, lim(x->a) cos x = cos a
• إذا نتجت FI، نستخدم النهايات الأساسية أو قاعدة هوسبيتال (L Hopital).

أمثلة بكالوريا محلولة

مثال 1: احسب: lim(x->0) sin(3x) / (2x).

الحل: = lim(x->0) (3/2) x sin(3x)/(3x) = (3/2) x 1 = 3/2. نستخدم: sin(u)/u -> 1 مع u=3x.

مثال 2: احسب: lim(x->0) (1 – cos x) / x2.

الحل: نستخدم 1 – cos x = 2 sin2(x/2). = lim 2 sin2(x/2) / x2 = 2 x lim [sin(x/2) / x]2 = 2 x (1/2)2 = 2 x 1/4 = 1/2.

مثال 3 (بكالوريا): احسب: lim(x->0) (sin x) / (x + x2).

الحل: = lim sin x / (x(1+x)) = lim (sin x / x) x 1/(1+x) = 1 x 1/(1+0) = 1.

مثال 4 (بكالوريا): احسب: lim(x->0) (tan 2x) / (sin 3x).

الحل: = lim (sin 2x / cos 2x) / sin 3x = lim (sin 2x / sin 3x) x (1/cos 2x). sin 2x/sin 3x = (sin 2x/x)/(sin 3x/x) = 2/3. 1/cos 0 = 1. النهاية = 2/3.

الخلاصة

أهم نهاية مثلثية: lim(x->0) sin x / x = 1. منها نشتق باقي النهايات. عند حساب FI مثلثية، نحول التعبير إلى شكل يحتوي sin u / u. هذه النهايات أساسية في دراسة الاتصال والاشتقاق للدوال المثلثية.

📍 دروس مشابهة

• موضوع امتحان بكالوريا 2025 في التربية الإسلامية مع الحل – جميع الشعب
• $’العطف وحروفه ومعانيه مع تمارين بكالوريا — اللغة العربية — الثالثة ثانوي — شعبة
• التنمية المستدامة وقضايا البيئة في الجزائر والعالم — التاريخ والجغرافيا — الثالث