الرياضيات – الدوال الأصلية (Primitives) – طرق الحساب والتطبيقات – الثالثة ثانوي – بكالوريا

الرياضيات – الدوال الأصلية (Primitives) – طرق الحساب والتطبيقات – الثالثة ثانوي – بكالوريا

مقدمة

الدالة الأصلية (Primitive) هي الدالة التي مشتقتها تساوي دالة معينة. إذا كانت F مشتقتها f (F = f)، فإن F تسمى دالة أصلية لـ f. الدوال الأصلية هي أساس التكامل غير المحدود (Indefinite integral) وتستخدم لحساب المساحات والحجوم. في هذا الدرس، سنتعرف على كيفية حساب الدوال الأصلية للدوال الأساسية، طرق التكامل، مع أمثلة بكالوريا محلولة.

تعريف

الدالة F تسمى دالة أصلية للدالة f على مجال I إذا كانت F قابلة للاشتقاق على I وتحقق: F(x) = f(x) لكل x في I. إذا كانت F دالة أصلية لـ f، فإن جميع الدوال الأصلية لـ f تكتب على الشكل: F(x) + C حيث C ثابت حقيقي.

جدول الدوال الأصلية الأساسية

الدوال الأصلية لبعض الدوال الأساسية:

• f(x) = a (ثابت) -> F(x) = ax + C
• f(x) = xn (n != -1) -> F(x) = x(n+1)/(n+1) + C
• f(x) = 1/x -> F(x) = ln|x| + C
• f(x) = ex -> F(x) = ex + C
• f(x) = cos x -> F(x) = sin x + C
• f(x) = sin x -> F(x) = -cos x + C
• f(x) = 1/(1+x2) -> F(x) = Arctan x + C
• f(x) = 1/sqrt(1-x2) -> F(x) = Arcsin x + C

طرق حساب الدوال الأصلية

1 – التركيب الخطي

إذا كانت F و G دالتين أصليتين لـ f و g على الترتيب، فإن: F + G هي دالة أصلية لـ f + g، و kF هي دالة أصلية لـ kf (k ثابت).

2 – التكامل بالتعويض (Changement de variable)

إذا كانت f(u(x)).u(x) dx = F(u(x)) + C. نضع u = u(x) ثم du = u(x) dx.

مثال: F = integral(2x . cos(x2) dx). نضع u = x2 -> du = 2x dx. F = integral(cos u du) = sin u + C = sin(x2) + C.

3 – التكامل بالتجزئة (Intégration par parties)

إذا كان u و v دالتين قابلتين للاشتقاق: integral(u dv) = u.v – integral(v du). أو: integral(u.v) = u.v – integral(u.v).

مثال: integral(x . ex dx). نضع u=x (du=dx) و dv=ex dx (v=ex). = x.ex – integral(ex dx) = x.ex – ex + C = ex(x-1) + C.

أمثلة بكالوريا محلولة

مثال 1: احسب الدالة الأصلية لـ: f(x) = 3×2 + 2x – 1.

الحل: F(x) = 3.x3/3 + 2.x2/2 – x + C = x3 + x2 – x + C.

مثال 2 (بكالوريا): احسب الدالة الأصلية لـ: f(x) = 1/(3x+1).

الحل: نضع u = 3x+1 -> du/dx = 3 -> dx = du/3. F = integral(1/u x du/3) = (1/3) ln|u| + C = (1/3) ln|3x+1| + C.

مثال 3 (بكالوريا): احسب: integral(x . cos x dx).

الحل: نستخدم التكامل بالتجزئة: u=x (du=dx), dv=cos x dx (v=sin x). = x.sin x – integral(sin x dx) = x.sin x – (-cos x) + C = x.sin x + cos x + C.

الخلاصة

الدالة الأصلية هي عكس الاشتقاق. جدول الدوال الأساسية والتكامل بالتعويض والتكامل بالتجزئة هي أهم طرق حساب الدوال الأصلية. الدوال الأصلية تستخدم في حساب المساحات والتكامل المحدد.

📍 دروس مشابهة

• الموارد الطبيعية والطاقة في العالم: التوزيع والاستغلال والرهانات – الثالثة ثانوي
• موضوع امتحان بكالوريا 2009 في العلوم الفيزيائية مع الحل – شعبة علوم تجريبية
• $’Reported Speech — Direct and Indirect Speech — Rules and BAC Exercises — 3rd Y