الرياضيات – الاتصال (Continuité) وخصائص الدوال المتصلة – الثالثة ثانوي – بكالوريا

الرياضيات – الاتصال (Continuité) وخصائص الدوال المتصلة – الثالثة ثانوي – بكالوريا

مقدمة

الدالة المتصلة (Fonction continue) هي دالة يمكن رسم منحناها بدون رفع القلم عن الورقة. الاتصال مفهوم أساسي في التحليل الرياضي، وهو شرط أساسي لتطبيق مبرهنات هامة مثل مبرهنة القيم المتوسطة (TVI) ومبرهنة رول ومبرهنة القيمة المتوسطة (TAAF). في هذا الدرس، سنتعرف على تعريف الاتصال، أنواع عدم الاتصال، وخصائص الدوال المتصلة مع أمثلة بكالوريا محلولة.

تعريف الاتصال عند نقطة

تكون f متصلة عند نقطة a إذا كانت:

• f معرفة عند a (a ينتمي لمجال التعريف).
• نهاية f عند a موجودة ومنتهية.
• lim(x->a) f(x) = f(a).

بمعنى آخر: f متصلة عند a إذا وفقط إذا كان lim(x->a-) f(x) = lim(x->a+) f(x) = f(a).

الاتصال على اليمين والاتصال على اليسار

• f متصلة على اليمين عند a: lim(x->a+) f(x) = f(a).
• f متصلة على اليسار عند a: lim(x->a-) f(x) = f(a).

أنواع عدم الاتصال

• عدم الاتصال القفزي (Discontinuité de saut): النهايتان على اليمين واليسار موجودتان ومنتهيتان لكن مختلفتان.
• عدم الاتصال اللانهائي (Discontinuité infinie): إحدى النهايتين أو كلاهما لا نهائية.
• عدم الاتصال النقطي (Discontinuité ponctuelle): النهاية موجودة لكن f(a) مختلفة أو غير معرفة.

خصائص الدوال المتصلة

• مجموع وجداء ومركب دالتين متصلتين هو دالة متصلة.
• إذا كانت f متصلة على [a,b] وقابلة للاشتقاق على ]a,b[ و f(a)=f(b)=0، فإنه يوجد c في ]a,b[ بحيث f(c)=0 (مبرهنة رول).
• إذا كانت f متصلة على [a,b] وقابلة للاشتقاق على ]a,b[، فإنه يوجد c في ]a,b[ بحيث f(c) = (f(b)-f(a))/(b-a) (مبرهنة القيمة المتوسطة).
• إذا كانت f متصلة على [a,b]، فإن f تأخذ كل قيمة محصورة بين f(a) و f(b) (مبرهنة القيم المتوسطة TVI).

تطبيقات مبرهنة القيم المتوسطة (TVI)

إذا كانت f متصلة على [a,b] و f(a) و f(b) مختلفتي الإشارة، فإن المعادلة f(x)=0 تقبل على الأقل حلا في ]a,b[. هذه الخاصية تستخدم لإثبات وجود جذور للمعادلات.

الاتصال على مجال

• f متصلة على مجال مفتوح ]a,b[ إذا كانت متصلة عند كل نقطة من المجال.
• f متصلة على مجال مغلق [a,b] إذا كانت متصلة على ]a,b[ ومتصلة على اليمين عند a وعلى اليسار عند b.

أمثلة بكالوريا محلولة

مثال 1 (بكالوريا): ادرس اتصال الدالة f(x) = (x^2-1)/(x-1) عند x=1.

الحل: f غير معرفة عند x=1 (مقام = 0). لكن lim(x->1) (x^2-1)/(x-1) = lim(x->1) (x-1)(x+1)/(x-1) = lim(x->1) (x+1) = 2. النهاية موجودة. يمكننا تمديد f بالاتصال بوضع f(1)=2.

مثال 2 (بكالوريا 2022): بين أن المعادلة x^3 + x – 1 = 0 تقبل حلا في ]0,1[.

الحل: f(x)=x^3+x-1 متصلة على [0,1] (دالة حدودية). f(0)=-1 < 0 و f(1)=1 > 0. حسب TVI، يوجد c في ]0,1[ بحيث f(c)=0.

مثال 3 (بكالوريا 2021): f(x) = x^2 – 4x + 3. أثبت أن f تحقق مبرهنة رول على [1,3].

الحل: f متصلة على [1,3] وقابلة للاشتقاق على ]1,3[ (دالة حدودية). f(1)=1-4+3=0 و f(3)=9-12+3=0. إذن يوجد c في ]1,3[ بحيث f(c)=0. f(x)=2x-4=0 -> x=2. c=2 ينتمي لـ ]1,3[.

الخلاصة

الاتصال شرط أساسي لتطبيق المبرهنات التحليلية الهامة. الدالة متصلة عند a إذا كانت نهايتها عند a تساوي قيمتها عند a. مبرهنة TVI تستخدم لإثبات وجود جذور المعادلات. مبرهنة رول ومبرهنة القيمة المتوسطة لها تطبيقات في دراسة الدوال.

📍 دروس مشابهة

• الحركة الوطنية الجزائرية (1919-1954) — تياراتها ومواقفها — تاريخ مع تمارين — الث
• التاريخ والجغرافيا — الوحدة التعليمية 2 — ملخصات وتمارين بكالوريا — الثالثة ثانو
• البيئة والتلوث: تلوث الهواء والماء والتربة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) علوم طبيعة