الهندسة الفضائية — المستقيمات والمستويات في الفضاء — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري

الهندسة الفضائية تدرس الأشكال الهندسية في الفضاء ثلاثي الأبعاد. هذا الدرس يتناول تمثيل المستقيمات والمستويات في الفضاء باستخدام المعادلات البارامترية والديكارتية. وهو من مواضيع بكالوريا شعبة العلوم التجريبية.

أولاً: المستوي في الفضاء

المعادلة الديكارتية لمستوي: ax + by + cz + d = 0 حيث (a, b, c) هو شعاع ناظمي (normal) للمستوي.

المستوي المار بنقطة A(x₀, y₀, z₀) وشعاعه الناظمي n̄(a, b, c):

a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0

التمثيل البارامتري لمستوي: يحدد بنقطة واتجاهين غير مرتبطين خطياً (شعاعين):

M = A + t × ū + s × v̄ حيث t, s ∈ ℝ

ثانياً: المستقيم في الفضاء

التمثيل البارامتري لمستقيم: يحدد بنقطة A وشعاع توجيه ū(a, b, c):

x = x₀ + t × a

y = y₀ + t × b

z = z₀ + t × c

حيث t ∈ ℝ (الوسيط)

ثالثاً: الأوضاع النسبية

مستقيم ومستوي:

المستقيم يقطع المستوي في نقطة (إذا لم يكن موازياً له).
المستقيم موازٍ للمستوي (إذا كان شعاع توجيهه عمودياً على الشعاع الناظمي للمستوي).
المستقيم محتوى في المستوي (إذا كان موازياً ونقطة منه تنتمي للمستوي).

مستويان:

متوازيان (إذا كان شعاعاهما الناظميان مرتبطين خطياً).
متعامدان (إذا كان جداؤهما السلمي = 0).
متقاطعان وفق مستقيم.

رابعاً: المسافات في الفضاء

المسافة بين نقطة ومستوي:

d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

المسافة بين نقطة ومستقيم:

d = |AM̄ × ū| / |ū| حيث A نقطة على المستقيم و ū شعاع توجيهه.

خامساً: مثال بكالوريا

تمرين بكالوريا (دورة 2021): نعتبر المستوي (P): 2x − y + 2z − 3 = 0 والنقطة A(1, 2, 1).

1. احسب المسافة بين A والمستوي (P).

2. اكتب معادلة المستقيم (D) المار من A والعمودي على (P).

الحل:

1. الشعاع الناظمي للمستوي n̄(2, −1, 2)

d = |2×1 + (−1)×2 + 2×1 − 3| / √(4 + 1 + 4)

d = |2 − 2 + 2 − 3| / 3 = |−1| / 3 = 1/3 وحدة طول

2. شعاع توجيه المستقيم (D) هو الشعاع الناظمي n̄(2, −1, 2)

التمثيل البارامتري:

x = 1 + 2t

y = 2 − t

z = 1 + 2t

حيث t ∈ ℝ.

خلاصة

الهندسة الفضائية ضرورية في مجالات الهندسة المدنية والمعمارية والروبوتات والرسوميات الحاسوبية. إتقانها مطلوب في بكالوريا الشعب العلمية وخاصة شعبتي الرياضيات والتقني رياضي.

الهندسة الفضائية — المستقيمات والمستويات في الفضاء — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري