مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الاحتمالات — المتغيرات العشوائية وقوانين الاحتمال — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري
الاحتمالات فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الظواهر العشوائية. يدرس هذا الدرس مفهوم المتغير العشوائي وقوانين الاحتمال الأساسية. وهو موضوع هام في بكالوريا شعبة العلوم التجريبية.
أولاً: مفاهيم أساسية
التجربة العشوائية: تجربة يمكن تكرارها تحت نفس الظروف ولكن نتيجتها غير مؤكدة مسبقاً.
فضاء العينة Ω: مجموعة جميع النتائج الممكنة للتجربة العشوائية.
الحادث: مجموعة جزئية من Ω (أي بعض النتائج الممكنة).
ثانياً: العمليات على الحوادث
- A ∪ B: اتحاد الحادثين (A أو B)
- A ∩ B: تقاطع الحادثين (A و B معاً)
- Ā: متممة الحادث A (ليس A)
الحادثان المتنافيان (Disjoints): لا يمكن حدوثهما معاً: A ∩ B = ∅
ثالثاً: قانون الاحتمال
قانون الاحتمال P هو تطبيق من حوادث Ω نحو [0, 1] يحقق:
- P(Ω) = 1
- P(∅) = 0
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- P(Ā) = 1 − P(A)
رابعاً: المتغير العشوائي (Variable Aléatoire)
المتغير العشوائي X هو تطبيق من Ω نحو ℝ يربط كل نتيجة بقيمة عددية.
قانون الاحتمال للمتغير العشوائي X يعطي لكل قيمة ممكنة xi احتمالها P(X = xi).
خامساً: خصائص المتغير العشوائي
الأمل الرياضي (Espérance): E(X) = Σ xi × P(X = xi)
التباين (Variance): V(X) = Σ (xi − E(X))² × P(X = xi)
الانحراف المعياري (Écart-type): σ(X) = √V(X)
سادساً: مثال بكالوريا
تمرين بكالوريا (دورة 2022 — شعبة علوم تجريبية): صندوق يحتوي على 4 كرات حمراء و 3 كرات خضراء و 5 كرات زرقاء. نسحب عشوائياً كرتين مع الإرجاع. ليكن X المتغير العشوائي الذي يمثل عدد الكرات الحمراء المسحوبة.
1. حدد القيم الممكنة لـ X.
2. أحسب P(X=0) و P(X=1) و P(X=2).
3. أحسب الأمل الرياضي E(X).
الحل:
عدد الكرات الكلي = 4 + 3 + 5 = 12 كرة.
احتمال سحب كرة حمراء: p = 4/12 = 1/3
1. القيم الممكنة: X ∈ {0, 1, 2}
2. P(X=0) = (8/12) × (8/12) = (2/3)² = 4/9
P(X=1) = 2 × (4/12 × 8/12) = 2 × (1/3 × 2/3) = 2 × 2/9 = 4/9
P(X=2) = (4/12)² = (1/3)² = 1/9
التحقق: 4/9 + 4/9 + 1/9 = 9/9 = 1 ✓
3. E(X) = 0 × 4/9 + 1 × 4/9 + 2 × 1/9 = 0 + 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3
ملاحظة: يمكن الحساب مباشرة بـ E(X) = np = 2 × 1/3 = 2/3.
خلاصة
الاحتمالات والمتغيرات العشوائية تستخدم في الإحصاء وعلوم البيانات والاقتصاد والفيزياء. وهي من المواضيع المهمة في امتحان البكالوريا.
دروس مشابهة
- الرياضيات — السنة الثالثة ابتدائي — مفهوم القسمة (التوزيع المتساوي) — المنهاج ال
- موضوع امتحان بكالوريا 2023 في الرياضيات مع الحل – شعبة تقني رياضي
- النسبة المئوية — حساب التخفيضات والزيادات والربح والخسارة مع تمارين — الرياضيات
